Aforisma di Renato Caccioppoli: ” Non esistono certezze, ma solo probabilitùà”. La teoria della probabilità costituisce il supporto matematico dei metodi per inferenze statistiche. Dato che l’inferenza da campioni alla popolazione non può essere certa in assoluto, spesso si usa il linguaggio della probabilità nel trarre conclusioni.
Cenni storici. I primi autori o studiosi delle probabilità furono sicuramente Fermat e Pascal intorno al 1650, discutendo intorno al gioco d’azzardo. Un primo studio fu pubblicato da Huyghens intorno al 1657, De Raziociniis in Ludo Aleae“, poi vi fu il fondamentale trattato di Laplace nel 1812 “Théorie Analytique des Probabiliteé“; più tardi vi furono contributi di Gauss e De Moivre. Lo sviluppo moderno del calcolo delle probabilità è una conquista del XX secolo, con la comparsa delle teoria dell’integrazione secondo Lebesgue. Nel 1933 Kolmogorov produce un celebre contributo al calcolo delle probabilità con una costruzione assiomatica della teoria, sostancialmente invariata fino ad oggi. Il campo di applicazione più noto è la Statistica, ma può essere anche utilizzato per descrivere la Natura. Secondo Carnap, a riguardo della natura della probabilità si possono individuare due sottosettori: uno di tipo filosofico e un altro di tipo sperimentale.
Eventi.
Nella vita di tutti i giorni si parla spesso delle probabilità di un evento, ovvero del fatto che il dato evento si verifichi o non si verifichi.
Si può rispondere in molti modi e a seconda dell’approccio si parla di probabilità classica, di probabilità di Kolmogorov, o di De Finetti, anche se nessuna delle definizioni è completamente soddisfacente.
Probabilità classica:
La probabilità di un evento aleatorio E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al suo verificarsi ed il numero dei casi possibili (purché tutti casi siano ugualmente possibili, equiprobabili).
\[P_{r}\left ( E \right )=\frac{f}{n}\]
indicando f il numero dei casi favorevoli ed n il numero dei casi equiprobabili.
La probabilità che invece non si verifichi l’evento E, evento contrario ad E, si indica con \[\bar{E}\]
e si può calcolare con la formula
\[P_{r}\left ( \bar{E} \right )=1-\frac{f}{n}\]
ossia \[P_{r}\left ( \bar{E} \right )=1-P_{r}(E)\]
Ricordiamo che la probabilità p di un evento E è sempre compresa tra 0 e 1, vale 0 se l’evento è impossibile, vale 1 se l’evento è certo.
Definizione frequentista o della probabilità a posteriori
La probabilità di un evento E è la frequenza relativa con cui l’evento si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto le stesse condizioni:
\[\lim_{n\rightarrow \infty }f_{rel}=p\]
e in ogni caso \[0\leq p\leq 1\]
Esempio 1.- Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero inferiore a 5. Calcolare poi la probabilità dell’evento contrario.
Risoluzione
La probabilità che esca un numero inferiore a 5 si determina contando i casi favorevoli 4, esce 1, 2, 3, 4, rispetto ai casi possibili che sono 6. Dunque si ha:
\[P_{r}(E)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]
mentre l’evento contrario si verifica se esce il 5 o il 6, con probabilità:
\[P_{r}(\bar{E})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\]
Esempio 2.- Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero inferiore a 12. Calcolare poi la probabilità che esca il 9.
Risoluzione
Tenuto conto che dal lancio di un dado esce sempre un numero inferiore a 12, al massimo può uscire il 6, si deduce che l’evento in questione è certo e dunque la sua probabilità è 1. Mentre il 9 non può uscire e dunque si tratta di un evento impossibile con probabilità zero.