Mia madre stava preparando delle polpette da mettere nel sugo. Ne preparò tre e le mise a cuocere, mentre io assistevo alla scena. Successivamente, io andai a giocare con mio padre in giardino, mentre mia madre rimasta in cucina decise di mangiare una polpetta. A mezzogiorno mise in tavola le due polpette e io sbalordito osservai: “Come mai erano tante (e feci il segno 3 con le dita) e adesso sono tante (e feci il segno 2 con le dita)? Ti ricordi a quanti anni hai imparato a contare?
Ora riporto alcune tecniche di calcolo rapido e mentale scoperte da me e da un mio amico (Mauro D’Amico) all’età di 11 anni, e che magari ti potranno essere d’aiuto, a seguire ulteriori tecniche di calcolo rapido e mentale.
1. Come eseguire il quadrato di un numero di due cifre terminante con 5:
25 x
25 = 625
Basta moltiplicare 5 x 5 e scrivere 25 e poi aumentare di una unità il 2 di uno dei due fattori e moltiplicare 3 x 2 = 6 (e si scrive davanti al 25).
Come eseguire il quadrato di un numero di 3 cifre terminante con 5:
175 x
175 = 30625
Basta moltiplicare 5 x 5 e scrivere 25, poi si moltiplica 17 x 17 =289 si aggiunge 17 (o fare come nel caso precedente) e si scrive 306 davanti al 25.
Nei casi in cui si può combinare la tecnica precedente con questa il calcolo è ancora più rapido e sbalorditivo
155 x
155 = 24025
N.B. La procedura si può estendere ad un numero qualsiasi di cifre:
15745 x
15745 = 247905025
Moltiplicare 5 x 5 e scrivere 25, moltiplicare 1574 x 1574 =2477476 aggiungere 1574 e scrivere 2479050 davanti al 25.
2. Come eseguire il quadrato di un numero di due (o più) cifre terminante con 6:
36 x
36 =1296
Basta moltiplicare 6 x 6 = 36, scrivere 6 e riportare 3, poi sommare 3+3 + 3 (riporto)e scrivere 9, poi aumentare di una unità il 3 di uno dei due fattori e moltiplicare 4 x 3 e scrivere 12 .
6 x
46 =2116
Basta moltiplicare 6 x 6 = 36, scrivere 6 e riportare 3, poi sommare 4 + 4 + 3 (riporto) = 11 scrivere 1 e riportare 1, poi aumentare di una unità il 4 di uno dei due fattori e moltiplicare 5 x 4 aggiungere il riporto (1) e scrivere 21 .
336 x
336 =112296
Come eseguire il prodotto di un numero di due (o più) cifre terminante con 1:
81 x
81 = 6561
Basta moltiplicare 1 x 1 e scrivere 1, poi sommare 8+8 e scrivere 6 riportando 1, poi moltiplicare 8 x 8 aggiungere il riporto e scrivere 65.
1171 x
1161 = 1359531
3. Come eseguire il prodotto di due numeri qualsiasi di due cifre
81 x
23=1863
Si moltiplica 1 x 3 e scrivere 3, si moltiplica ad incrocio 3 x 8 = 24 e 2 x 1= 2 si somma ottenendo 26, 6 si scrive e 2 si riporta, si moltiplica 8 x 2=16 si aggiunge il riporto e si scrive 18.
N.B. Successivamente abbiamo scoperto che quest’ultimo metodo era già noto (anche se non a tutti).
Avvertenza (a posteriori)
Queste procedure di calcolo sono facilmente dimostrabili sfruttando la forma polinomiale di un numero.
Ad esempio, possiamo provare a calcolare il quadrato di un numero terminante per 2. Si tratta in sostanza di calcolare il seguente quadrato:
(con x = 10), da cui si ottiene che il quadrato è un numero avente per prima cifra di sinistra il quadrato di p, poi la cifra 4p e terminerà per 4.
Ad esempio 12 x 12 = =144
Ad esempio 52 x 52 = =25(20)4=2704 (tenendo conto che la seconda cifra genera un riporto di 2.
Ulteriori artifizi per il calcolo rapido e mentale
Utilizzando le proprietà delle operazioni aritmetiche si possono facilmente scoprire alcuni artifizi per il calcolo rapido e mentale. Mostriamo alcuni artifici utilizzando degli esempi pratici.
Sommiamo
47+
85 =132
Conviene pensare l’addizione così:
47 + 85 = 45 + 2 + 80 + 5 = 45 +5 + 80 +2 = 50 + 82 = 132
Dopo un po’ di pratica si riuscirà a fare direttamente così:
47 + 85 = 50 + 82 = 132
Sottraiamo
84 –
36 = 48
Conviene pensare la sottrazione così:
84 – 36 = 84 – 34 – 2 = 50 – 2 = 48
Moltiplichiamo
13 x
12 =156
Conviene pensare la moltiplicazione così:
13 x (10 + 2) = 13x10 + 13x2 = 130 +26 = 156
Il calcolo è più rapido poiché abbiamo scomposto 12 in 10 + 2 e quindi abbiamo eseguito una moltiplicazione per 10 e una per due (cioè un raddoppio), quindi abbiamo sommato.
Dopo un po’ di pratica si riuscirà a fare direttamente così:
13 x (10 + 2) = 130 +26 = 156.
Infatti, mentre si eseguirà la moltiplicazione per 10 si calcolerà anche il raddoppio di 13 e… apparirà il risultato!
Moltiplichiamo
27 x
39 =1053
Conviene pensare la moltiplicazione così:
27 x (40-1) = 27 x 10 x 4 – 27 = 1080 – 27 = 1053
Il calcolo sembra macchinoso, ma in realtà dopo un po’ di pratica si riesce a fare a mente.
Dividiamo
1264 :
4 = 316
Conviene pensare la divisione così:
1264 : 4 = (1000 : 4) + (200 : 4) + (64 : 4) = 300 + 50 + 16 = 316.
Moltiplicazione tra due particolari numeri di due cifre:
43 x 47 = 2021
La particolarità consiste nel fatto che la cifra delle decina (il 4) è uguale nei due numeri e la somma delle cifre delle unità dei due numeri dà 10 = 3 +7. In tal caso basta, per fare la moltiplicazione, aumentare di una unità uno solo dei due 4 (cifra della decina), ottenendo 5, e moltiplicare il 5 per l’altro 4, risultato 20 e si scrive a sinistra; poi si moltiplicano le due cifre delle unità 3 x 7 = 21 e il risultato si scrive a destra del 20.
Il risultato finale è 2021.
81 x 89 = 729
72 = (8+1) x 8 = 9 x 8; 9 = 1 x 9
Moltiplicazione di un numero di 2 cifre per 11:
11 x 32 = 3 5 2
La cifra 2 dell’unità coincide con quella del 32 (cioè 2), la cifra 3 delle centinaie coincide con il 3 delle decine del 32, mentre il numero centrale 5 si ottiene sommando le cifre del 32, cioè 3 +2 = 5.
11 x 45 = 4 9 5
il 9 = 4 +5
11 x 67 = 6 (6 +7) 5 = 6 (13) 5 = 735
Dato che la somma centrale tra 6 e 7 supera il 9 e cioè dà 13, il tre si scrive al centro e l’uno si riporta sommandolo al 6.
Moltiplicazione di un numero di 3 o più cifre per 11:
11 x 345 = 3 7 9 5
Il risultato inizia con 3 e finisce con 5, mentre il 9 = 4 +5 e il 7 = 3 +4
11 x 3462 = 3 (3+4) (4+6) (6+2) 2 = 3 7 (10) 8 2 = 38082
Le cifre intermedie si stabiliscono come somme delle coppie intermedie, se la somma supera il 9 bisogna riportare l’unità.
Moltiplicazione di un numero per 125:
24 x 125 = 24 000 diviso 8 = 3000
56 x 125 = 56 000 diviso 8 = 7000
Ogni volta si moltiplica per 1000 e il risultato si divide per 8
Moltiplicazione di un numero per un numero composto da tutti 9:
54 x 9 = 54 0 – 54 = 540 – 54 = 486
54 x 99 = 54 00 – 54= 5400 – 54 =5346
54 x 999 = 54 000 – 54= 54000 – 54 =53496
54 x 9999 = 54 0000 – 54= 540000 – 54 =539946
54 x 99999 = ….. = 5399946
Quadrati o cubi di un numero.
Radici quadrate e radici quarte, radici cubiche…
Per calcolare la radice quarta di 16, basta fare in successione due volte la radica quadrata.