1A, a – Il dominio della funzione f(x) è tutto R perché trattasi di una funzione razionale intera; la funzione $\displaystyle g(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ è una funzione razionale fratta e dunque per calcolare il dominio bisogna imporre che il denominatore sia diverso da zero:
$\displaystyle 1+x^{2}\neq 0\rightarrow 1+x^{2}=0$
e però osservato che l’equazione suddetta è impossibile si deduce che anche g(x) ha dominio R.
1A, b –Verifichiamo se f o g è uguale a g o f. Ricordiamo che intanto la composizione tra due funzioni non gode della proprietà commutativa, pertanto ci aspettiamo che la risposta al Test sia Falso, ma dobbiamo verificarlo praticamente. Calcoliamo f(g(x) e si ha:
\[(f\, o\, g)(x)=f(g(x))=\left ( \frac{1}{x^{2}+1} \right )^{2}-2\left ( \frac{1}{x^{2}+1} \right )+1=\frac{1}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}-\frac{2}{1+x^{2}}+1=\frac{1-2\left ( 1+x^{2} \right )+\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}=\frac{1-2-2x^{2}+1+2x^{2}+x^{4}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}=\frac{x^{4}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}\]
Calcoliamo g(f(x)) e si ha:
\[(g\, o\, f)(x)=g(f(x))=\frac{1}{\left ( x^{2}-2x+1 \right )^{2}+1}=\frac{1}{\left ( x-1 \right )^{4}+1}\]
1B, a – La funzione $\displaystyle (f\, o\, g)(x)=\frac{x^{4}}{(x^{2}+1)^{2}}$ non è dispari, ma pari.