Concavità e convessità di una funzione

Definizione di funzione concava e convessa.- Sia $\Gamma$ il grafico in un piano cartesiano di una funzione reale di variabile reale y =f(x) definita in un dominio D. Nella figura 1 è rappresentata una curva $\Gamma$ concava nel punto P, mentre nella figura 2 una curva convessa in P. Da notare che la curva $\Gamma$ di figura 1 è tutta non al disotto della tangente t alla curva in P; mentre nella figura 2 la curva $\Gamma$ è tutta non al disopra della tangente alla curva in P.

Esempio 1.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione $y=x^{3}-6x+3$  è concava o convessa.

Risoluzione

Calcoliamo la derivata prima e quindi la derivata seconda della funzione e si ha:

\[ y’=3x^{2}-6x,\,\,y”=6x-6\]

Quindi richiediamo che la derivata seconda sia maggiore di zero \[y”>0\] e risolviamo di conseguenza la disequazione

\[y”>0\to 6x-6>0\to x>1\]

Pertanto la funzione è concava per x >1 e convessa per x<1

Esempio 2.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione $y=x^{4}-13x^{2}+36$ è concava o convessa.

Esempio 3.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione\[y=\frac{x+1}{3x+4}\] è concava o convessa.

Esempio 4.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione\[y=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-4}\] è concava o convessa.

Esempio 5.- Stabilire gli intervalli in cui la funzione $y=senx + cos x$ è concava o convessa.

Definizione di Flesso di una funzione.- Si dice che la curva $\Gamma$ d’equazione y = f(x) presenta un flesso P d’ascissa c se la curva in P non è né concava né convessa o concava e convessa contemporaneamente. Per classificare i punti di flesso bisogna considerare la tangente inflessionale, ossia la tangente alla curva nel punto di flesso e si possono avere vari casi.

Esempio 1.- Stabilire i flessi della funzione $y=x^{3}-6x+3$ e classificarli.