Data una funzione di due variabili f(x,y) definita in un dominio D, parzialmente derivabili nell’interno di D, vogliamo riportare un metodo per calcolare i massimi e minimi relativi della funzione.
Conviene procedere nel seguente modo:
- Si determinano le derivate parziali prime rispetto ad x e ad y della funzione f(x,y), ossia
\[f_{x}'(x,y) \, \, e\, \, f_{y}'(x,y)\]
- Si risolve il sistema formato dalle derivate parziali prime uguagliate a zero \[\left\{\begin{matrix} f_{x}'(x,y) &=0 \\ f_{y}'(x,y) & =0 \end{matrix}\right.\]
- Si analizza il determinante Hessiano: \[H(x,y)=\begin{vmatrix} f”_{xx} &f”_{xy} \\ f”_{yx} & f”_{yy} \end{vmatrix}=f”_{xx}\cdot f”_{yy}-(f”_{xy})^{2}\]
in ogni punto \[P(x_{0},y_{0})\] interno a D e che risolve il suddetto sistema. Si ha:
- Se il determinante Hessiano è negativo \[H(x_{0},y_{0})<0\]
il punto \[P(x_{0},y_{0})\] è un punto di sella; - Se il determinante Hessiano è positivo \[H(x_{0},y_{0})>0\]
e la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è positiva, \[f”\left ( x_{0},y_{0} \right )>0\] il punto \[P(x_{0},y_{0})\] è di minimo relativo, se invece l’Hessiano è positivo,\[H\left ( x_{0},y_{0} \right )>0\], ma la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è negativa, \[f”\left ( x_{0},y_{0} \right )<0\] il punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\] è di massimo relativo. - Se il determinante Hessiano nel punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\] è nullo, \[H\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\]
non si può dire, senza ulteriori analisi, se il punto è di massimo o minimo relativo. In tal caso si può analizzare il segno della differenza \[f\left ( x,y \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )\] in un conveniente intorno del punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\]
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Esercizio 1.- Data la funzione di due variabili f(x,y) = 6xy – x2y – xy2
a) determinare i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella.
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