Come determinare i massimi e minimi relativi di una funzione di due variabili

Data una funzione di due variabili f(x,y) definita in un dominio D, parzialmente derivabili nell'interno di D, vogliamo riportare un metodo per calcolare i massimi e minimi relativi della funzione.
Conviene procedere nel seguente modo:

Si determinano le derivate parziali prime rispetto ad x e ad y della funzione f(x,y), ossia

$f_{x}'(x,y) \, \, e\, \, f_{y}'(x,y)$

Si risolve il sistema formato dalle derivate parziali prime uguagliate a zero
$\left\{\begin{matrix} f_{x}'(x,y) &=0 \\ f_{y}'(x,y) & =0 \end{matrix}\right.$
Si analizza il determinante Hessiano:
$H(x,y)=\begin{vmatrix} f''_{xx} &f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{vmatrix}=f''_{xx}\cdot f''_{yy}-(f''_{xy})^{2}$

in ogni punto

$P(x_{0},y_{0})$

interno a D e che risolve il suddetto sistema. Si ha:

Se il determinante Hessiano è negativo
$H(x_{0},y_{0})<0$

il punto
$P(x_{0},y_{0})$
è un punto di sella;
Se il determinante Hessiano è positivo
$H(x_{0},y_{0})>0$

e la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è positiva,
$f''\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$
il punto
$P(x_{0},y_{0})$
è di minimo relativo, se invece l'Hessiano è positivo,
$H\left ( x_{0},y_{0} \right )>0$
, ma la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è negativa,
$f''\left ( x_{0},y_{0} \right )<0$
il punto
$P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$
è di massimo relativo.
Se il determinante Hessiano nel punto
$P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$
è nullo,
$H\left ( x_{0},y_{0} \right )=0$

non si può dire, senza ulteriori analisi, se il punto è di massimo o minimo relativo. In tal caso si può analizzare il segno della differenza
$f\left ( x,y \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )$
in un conveniente intorno del punto
$P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$