Conviene procedere nel seguente modo:
- Si determinano le derivate parziali prime rispetto ad x e ad y della funzione f(x,y), ossia
\[f_{x}'(x,y) \, \, e\, \, f_{y}'(x,y)\]
- Si risolve il sistema formato dalle derivate parziali prime uguagliate a zero \[\left\{\begin{matrix} f_{x}'(x,y) &=0 \\ f_{y}'(x,y) & =0 \end{matrix}\right.\]
- Si analizza il determinante Hessiano: \[H(x,y)=\begin{vmatrix} f”_{xx} &f”_{xy} \\ f”_{yx} & f”_{yy} \end{vmatrix}\]
in ogni punto $P(x_{0},y_{0})$ interno a D e che risolve il suddetto sistema. Si ha:
- Se il determinante Hessiano è negativo \[H(x_{0},y_{0})<0\]
il punto $P(x_{0},y_{0})$ è un punto di sella; - Se il determinante Hessiano è positivo $H(x_{0},y_{0})>0$
e la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è positiva, \[f”\left ( x_{0},y_{0} \right )>0\] il punto
$P(x_{0},y_{0})$ è di minimo relativo; se invece l’Hessiano è positivo,\[H\left ( x_{0},y_{0} \right )>0\], ma la derivata parziale seconda rispetto ad x due volte è negativa, \[f”\left ( x_{0},y_{0} \right )<0\] il punto $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ è di massimo relativo. - Se il determinante Hessiano nel punto $P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )$ è nullo, \[H\left ( x_{0},y_{0} \right )=0\]
non si può dire, senza ulteriori analisi, se il punto è di massimo o minimo relativo. In tal caso si può analizzare il segno della differenza \[f\left ( x,y \right )-f\left ( x_{0},y_{0} \right )\] in un conveniente intorno del punto \[P_{0}\left ( x_{0},y_{0} \right )\]
Esempio Svolto…clicca qui
Esercizio 1.- Data la funzione di due variabili f(x,y) = 6xy – x2y – xy2
a) determinare i punti di massimo e minimo relativo e i punti di sella.
Per vedere lo svolgimento clicca qui
Come si procede nel caso di tre o più variabili?
Si procede in modo analogo, ma forse è il caso di specificare meglio. Pertanto vediamo prima il caso a tre variabili e poi il caso generale.
b)Data una funzione di tre variabili f(x,y,z) definita in un dominio D di R^3, parzialmente derivabile nell’interno di D, con derivte parziali prime e seconde continue, vogliamo riportare un metodo per calcolare i massimi e minimi relativi della funzione.
Conviene procedere nel seguente modo:
- Si determinano le derivate parziali prime rispetto ad x, ad y e z della funzione f(x,y,z), ossia
\[f_{x}'(x,y,z) \, \,\, \, f_{y}'(x,y,z),\,\ f_{z}'(x,y,z)\]
- Si risolve il sistema formato dalle tre derivate parziali prime uguagliate a zero \[\left\{\begin{matrix}f_{x}'(x,y,z)&=0\\f_{y}'(x,y,z)&=0\\f_{z}'(x,y,z)&=0\\\end{matrix}\right.\]
- Si analizza il determinante Hessiano: \[H\left(x,y,z\right)=\begin{bmatrix}f_{xx}^{”}&f_{xy}^{”}&f_{xz}^{”}\\f_{yx}^{”}&f_{yy}^{”}&f_{yz}^{”}\\f_{zx}^{”}&f_{zy}^{”}&f_{zz}^{”}\\\end{bmatrix}\]
in ogni punto $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ interno a D e che risolve il suddetto sistema. Il punto $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ è di minimo se valgono le seguenti tre condizioni
\[f_{xx}^{”}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)>0,\,\,\,\begin{vmatrix}f_{xx}^{”}&f_{xy}^{”}\\f_{yx}^{”}&f_{yy}^{”}\\\end{vmatrix}>0\]
\[H\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)>0\]
Il punto è mi massimo se valgono le seguenti tre condizioni
\[f_{xx}^{”}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)<0,\,\,\,\begin{vmatrix}f_{xx}^{”}&f_{xy}^{”}\\f_{yx}^{”}&f_{yy}^{”}\\\end{vmatrix}>0\]
\[H\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)<0\]
Se poi in $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ si ha
\[\begin{vmatrix}f_{xx}^{”}&f_{xy}^{”}\\f_{yx}^{”}&f_{yy}^{”}\\\end{vmatrix}<0\] il punto $P(x_{0},y_{0},z_{0})$ non è né di massimo né di minimo.