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Disequazioni con le funzioni goniometriche inverse

Disequazioni con le funzioni goniometriche inverse

La disequazione elementare:\[1)\, \, arcsen\, x>m\]

 

con \[m\in \left ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right )\] tenuto conto che l’arcoseno è una funzione crescente, è risolubile nel seguente modo:

\[arcsen\, x>m\Rightarrow arcsen\, x>arcsen(sen\, m)\Rightarrow sen\, m<x\leq 1\]

La (1) è:

  • impossibile se \[m\geq \frac{\pi }{2}\] 
  • verificata per \[\forall x\in \left [ -1,1 \right ]\, se\, m< -\frac{\pi }{2}\]
  • e verificata per \[\forall x\in (-1,1],\, se\, m= -\frac{\pi }{2}\]

Notiamo esplicitamente che la soluzione \[x\in \left [ -1,1 \right ]\] ..

Esempio 1.- Risolvere la disequazione \[arcsen\, x>\frac{\pi }{4}\]

Risolviamo preliminarmente l’equazione \[arcsen\, x=\frac{\pi }{4}\] e otteniamo \[x=\frac{\sqrt{2}}{2}\] Ne consegue l’identità \[arcsen\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}\] e che utilizziamo per risolvere la disequazione data.
Si ha: \[arcsen\, x>arcsen\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{2} <x\leq 1\]