Esercizi svolti sul confronto di infinitesimi e infiniti

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Esempio 1.- Confrontare i seguenti infiniti per x che tende ad 1 

f(x)=\frac{3}{x^{2}-1},\, h(x)=\frac{1}{x^{3}-1}

Si ha: 

\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{3}{x^{2}-1}}{\frac{1}{x^{3}-1}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{x^{2}-1}\frac{x^{3}-1}{1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3}{(x-1)(x+1)}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3\left ( x^{2}+x+1 \right )}{x+1}=\frac{9}{2}\neq 0

e dunque i due infiniti sono dello stesso ordine.

Esempio 2.- Confrontare i seguenti infiniti per x che tende ad 1 

f(x)=\frac{1}{x^{2}-9},\, h(x)=\frac{1}{x^{3}-27}

Esempio 3.- Confrontare i seguenti infiniti per x che tende ad 1

f(x)=\frac{x+1}{x-1},\, h(x)=\frac{2x}{(x-1)^{3}}

Esempio 4.- Confrontare i seguenti infiniti per x che tende ad 2

f(x)=\frac{x+1}{x-1},\, h(x)=\frac{2x}{(x-1)^{3}}

Esempio 5.- Confrontare i seguenti infinitisimi per x che tende all'infinito 

f(x)=\frac{1}{2x-13},\, h(x)=\frac{x+6}{x^{2}+4}

Si ha: 

\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{2x-13}}{\frac{x+6}{x^{2}+4}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{2x-13}\frac{x^{2}+4}{x+6}=\frac{1}{2}\neq 0

e dunque si tratta di due infinitesimi dello stesso ordine.

Esempio 6.-  a) Stabilire l'ordine di infinitesimo della funzione 

f(x)=\frac{e^{x}-1}{\sqrt{x-1}}

per x che tende a 1 da destra rispetto all'infinitesimo campione.

Bisogna stabilire, se esiste, il numero reale positivo p tale che

\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{\frac{e^{x}-1}{\sqrt{x-1}}}{\left ( \frac{1}{x-1} \right )^{p}}=l\neq 0

Tenuto conto della funzione f(x), in particolare della presenza della radice quadrata, si può ipotizzare che p sia uguale ad 1/2 e dunque calcolare 

\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{\frac{e^{x}-1}{\sqrt{x-1}}}{\left ( \frac{1}{x-1} \right )^{\frac{1}{2}}}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{\frac{e^{x}-1}{\sqrt{x-1}}}{\left ( \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right )}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\left ( e^{x}-1 \right )=e-1\neq 0

Pertanto f(x) è un infinitesimo d'ordine 1/2 rispetto all'infintestimo campione.

b) Stabilire se 

f(x)=2x^{2}senx

è un infinitesimo in zero e l'ordine rispetto all'infitesimo campione. Stabilire inoltre la parte principale dell'infinitesimo.

L'infinitesimo principale è x. Pertanto bisogna stabilire se esiste un numero reale positivo p tale che: 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{2}\cdot senx}{x^{p}}\neq 0


Tenuto conto del limite notevole fondamentale si evince che p = 3 (ordine 3). Infatti si ha: 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^{2}\cdot senx}{x^{3}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2senx}{x}=2\neq 0

La parte principale dell'infiintesimo f(x) è 

2\left ( x^{3} \right )

e si ha la seguente decomposizione in due infinitesimi 

f(x)=2\left ( x^{3} \right )+o(x)

c)  Stabilire se

f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+4x}}

è un infinito in zero e determinare l'ordine rispetto all'infinito campione.

La funzione f(x) è un infinito in zero in quanto risulta 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+4x}}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty

.
Confrontiamo con l'infinito campione 1/x. Pertanto bisogna stabilire, se esiste, un reale positivo p tale che 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+4x}}}{\left [ \frac{1}{x} \right ]^{p}}=l\neq 0

Dalla preseenza della radice quadrata si può ipotizzare che l'ordine non è 1 o 2 ma 1/2.
Si ha: 

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+4x}}}{\left [ \frac{1}{x} \right ]^{\frac{1}{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+4x}}\cdot \frac{x}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\left ( x+1 \right )}{\sqrt{x\left ( x^{2}+4x \right )}}=\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{\frac{x^{2}(x+1)^{2}}{x^{2}\left ( x+4 \right )}}=\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{\frac{(x+1)^{2}}{x+4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}

L'infinito principale è 

\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x} \right )^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Esempio 7.- Confrontare i seguenti infinitisimi per x che tende a zero

f(x)=e^{x^{2}}-1,\, h(x)=x^{2}senx

Si ha:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}senx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\cdot \frac{1}{senx}=\infty


e quindi f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto ad h(x).

Esempio 8.- Verificare che per x che tende a più infinito

f(x)=arctan\frac{1}{x^{2}}

è un infinitesimo e valutarne l'ordine rispetto all'infitesimo campione.

Si tratta di un infinitesimo poiché 

\lim_{x\rightarrow +\infty }arctan\frac{1}{x^{2}}=arctan(0)=0


L'infitesimo campione è 1/x per x che tende a più infinito.

Bisogna calcolare il seguente limite

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{arctan\frac{1}{x^{2}}}{\left [ \frac{1}{x} \right ]^{p}}=...

ovvero stabilire (se esiste) un numero reale positivo p in modo che il limite sia finito e non nullo. Tenuto conto che la funzione f(x) presenta x^2 e che l'arcotantante e la tangente sono infinitesimi come il proprio argomento si può ipotizzare che p = 2
Si ha: \

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{arctan\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{arctan\, t}{t}=1

avendo posto 

\frac{1}{x^{2}}=t

Pertanto f(x) è un infitesimo del secondo ordine (p = 2) rispetto all'infinitesimo campione.

Esempio 9.- Verificare che per x che tende 2

f(x)=x-2-ln(x-1)

è un infinitesimo e valutarne l'ordine rispetto all'infitesimo principale x-2.

Esempio 10.- Verificare che per x che tende 3

f(x)=\frac{x+3}{(x-3)ln(x-2)}


è un infinito e valutarne l'ordine rispetto all'infito principale 1/(x-3)

Si ha:

\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{(x-3)ln(x-2)}=\frac{6}{0\cdot ln\, 1}=\infty

e

\lim_{x\rightarrow 3}\frac{\frac{x+3}{(x-3)ln(x-2)}}{\frac{1}{(x-3)^{2}}}=6

.

Per calcolare il secondo limite si può porre x -3 = t e tener conto del limite notevole

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(t+1)}{t}=1

 

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