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Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità

Esempio 1.1.-  Estrazione di una carta, lancio di un dado, estrazione di una pallina. Qual è la probabilità che lanciando un dado non truccato esca un numero dispari? qual è quella che esca un multiplo di 3? Qual è quella che esce un numero maggiore di 9? Qual è quella che esca un numero maggiore di zero?

Esempio 1.2.- Qual è la probabilità che scegliendo una carta da un mazzo di 52 carte francesi esca l’asso di cuori? Qual è la probabilità che esca un asso?

Esempio 1.3.- Estraendo una carta da un mazzo di 52 carte francesi qual è la probabilità che non sia una carta di quadri?

Esempio 1.4.-  Un’urna contenente 7 palline rosse, 23 nere e e 14 gialle. Qual è la probabilità che estraendo una pallina dall’urna sia nera? Qual è la probabilità che sia nera o gialla? Qual è la probabilità che non sia nera? Qual è la probabilità che sia o nera o gialla o rossa?

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Esempio 2.1.- Estrazione di due carte, lancio di due dadi, estrazione di due palline. Qual è la probabilità che lanciando due dadi non truccati esca almeno un cinque? Qual è la probabilità che esca un numero superiore a 12? E qual è la probabilità che esca un nove?

Esempio 2.2.- Lanciando due volte un dado determinare la probabilità che esca due volte il 6. Qual è invece la probabilità che esca 6 al primo lancio e 4 al secondo? Qual è la probabilità che 6 al primo lancio e un numero diverso da 4 al secondo?
E se si volesse la probabilità che non esca il 6 né al primo lancio né al secondo?

Esempio 2.3.- Lanciando successivamente due monete ben equilibrate qual è la probabilità che escano due teste?

Esempio 2.4.- Estraendo successivamente due carte da un mazzo di 52 carte francesi, Stabilire la probabilità che la prima carta sia un asso e la seconda una figura. Qual è la probabilità che siano due carte di quadri?

Primo caso: Rimettendo ogni volta la carta nel mazzo

Secondo caso: Sena rimettere la carta  estratta nel mazzo

Esempio 3.1- Altri problemi. Estraendo contemporaneamente 3 carte dalle 13 di cuori di un mazzo di carte francesi, determinare la probabilità che siano due di valore compreso tra 1 (asso) e il 6 e l’altra di valore maggiore o uguale a 7.

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Esempio 3.2.- Lanciando tre dadi stabilire se è più probabile che esca nove o dieci.

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Esempio 3.3.- Lanciando successivamente tre monete ben equilibrate qual è la probabilità che escano almeno due teste?

Esempio 3.4.- Si lancia un dado truccato numerato da 1 a 6 con le seguenti probabilità:

P(1) = 5/16,

P(2) = P(3) = 1/16

P(4) = 1/4

P(5) = 3/16

P(6) = 1/8

Determinare la probabilità dell’evento E = ” Esce un multiplo di 3 oppure un numero minore o uguale di 2″

Esempio 4.1.- Probabilità condizionata.- A un esame di universitario si presentano sia studenti che hanno seguito il corso sia studenti che non l’hanno seguito. Secondo Il docente il 65% degli studenti ha seguito il corso. La probabilità che uno studente superi l’esame sapendo che ha seguito il corso è 0,75, mentre la probabilità che superi l’esame, sapendo che non ha seguito il corso, è 4 persone su 10.
Stabilire:

  1. Quali sono gli eventi descritti dal testo?
  2. Nel teso sono già espresse delle misure di probabilità. A quali eventi si riferiscono? Per ciascuno evento, scrivere la sua probabilità in rappresentazione decimale.
  3. Qual è la probabilità che uno studente superi l’esame?
  4. Qual è la probabilità che uno studente abbia seguito il corso sapendo che non ha superato l’esame?
  5. Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso abbia superato l’esame o non abbia seguito il corso?

Indichiamo con A e B i due eventi elementari:

A = { lo studente supera l’esame},

B = { lo studente ha seguito il corso};

con $\displaystyle \overline{B}$ l’evento contrario a B e con P(B) la probabilità dell’evento B e con $\displaystyle P\left (\overline{B} \right )$ la probabilità dell’evento contrario a B.

Dato che il docente ritiene che “il 65% degli studenti ha seguito il corso”, approssimando la probabilità con la frequenza relativa, si ha P(B) = 0.65 e applicando la formula della probabilità dell’evento contrario si ha:

\[P\left (\overline{B} \right )=1-P(B)=1-0,65=0,35\]

Inoltre $\displaystyle P\left ( A/B \right )=0,75\, \, \, \, \, \, P(A/\overline{B})=0,40$ , visto che sono assegnati dal testo.
A questo punto possiamo rispondere alla terza domanda,
Osserviamo che l’evento A si può riguardare come \[A=\left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap \overline{B} \right )\]
e dunque la probabilità è \[P\left ( A \right )=P\left ( A\cap B \right )+P\left ( A\cap \overline{B} \right )=0,4875 + 0,1400 = 0,6275\]
ossia 0,6275 è la probabilità che lo studente superi l’esame.
Quarta domanda. Mentre $\displaystyle P\left ( B/A \right )$ , ovvero la probabilità che lo studenti abbia seguito il corso ammesso che superi l’esame è: \[P\left ( B/A \right )=\frac{P\left ( A\cap B \right )}{P(B)}=\frac{0,4875}{0,65}=0,7769\]

Osservazione

\[P(A\cap B)=P(A/B)\cdot P(B)=0,75\cdot 0,65=0,4875\]

\[P(A\cap \overline{B})=P(A/\overline{B})\cdot P(\overline{B})=0,40\cdot 0,35=0,1400\]