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Esercizio svolto grafico di una funzione ad alcune sue proprietà

Impariamo a leggere il grafico di una funzione, ossia a dedurre alcune caratteristiche (proprietà) della funzione quando viene assegnato il suo grafico.

Esempio 1.- Il grafico della funzione y = f(x) è quello rappresentato nella figura 1.

grafico_funzione_1

Determinare:
a) il dominio D e il codominio di f(x);
b) l’insieme soluzione dell’equazione f(x) = 0;
c) l’insieme soluzione della disequazione f(x) > 0, e della disequazione f(x) < 0;
d) gli intervalli in cui f(x) è strettamente crescente e strettamente decrescente;
e) f(-1), f(4), f(10), f -1 (1), f -1 (2);
f) la controimmagine di y = 1,5 è compreso tra x = 5 e x = 10?
g) E’ vero che il valore massimo della funzione è 2? Qual è il valore minimo della funzione?
h) E’ vero che la retta x = – 4 è un asintoto verticale?
i) Esiste un sottoinsieme del dominio in cui la funzione è costante?
l) la funzione è iniettiva? E’ suriettiva? E’ biettiva?
m) nel punto x = 5 la funzione è continua?

Risoluzione (vedi foto)

a) Il dominio della funzione è l’intervallo ] – 4, 10 ], mentre il codominio è l’intervallo $\displaystyle \left ( -2,+\infty \right )$  .

b) L’equazione f (x ) = 0 ammette tre soluzioni: x = a,   x = b,   x = c  ove a, b, c sono le ascisse dei punti d’intersezione del grafico della curva con l’asse x.

c) f(x) > 0 per – 4 < x < a,  b < x < 5,   c < x < 10;  f(x) < 0 per a < x < b,  5 < x < c, con a, b, c numeri indicai nel punto precedente b);

d) La funzione è strettamente crescente in ] -1, 3 [  e  ] 5, 10 [ ; strettamente decrescente in ] – 4,  -1 [.

e) f(-1) è l’immagine della funzione per x = -1, tale valore si legge sul grafico in corrispondenza di x = -1 e si ha:

f(-1) = -1;

f(4) non esiste,   f(10) = 2,

$\displaystyle f^{-1}\left ( 1 \right )=3,\, \, f^{-1}\left ( 2 \right )=10$

f)

g) NO, la funzione è illimitata superiormente, ovvero il suo estremo superiore è + infinito; la funzione non ammette valore minimo, il suo estremo inferiore è -2.

h) Si

l) Si, la funzione è costante nell’intervallo [ 3, 5 ]

l) NO, la funzione non è iniettiva; Sì, la funzione è suriettiva; No, la funzione non è biettiva perché non è iniettiva.

m) No, infatti il limite sinistro vale 1 e quello destro -2

Esempio 2.- Data la funzione: \[f(x)=\left\{\begin{matrix} x-1 &\, se\, x>0\\ x^{2} &\, se\: -1\leq x\leq 0 \\ 2 & se\, \, x<-1 \end{matrix}\right.\]

  1. rappresentarla graficamente;
  2. determinare il dominio e il codominio;
  3. stabilire se è iniettiva e suriettiva;
  4. stabilire gli intervalli in cui la funzione è strettamente crescente;
  5. risolvere l’equazione f(x) = 0 e l’equazione f(x) = 4;
  6. esiste un sottoinsieme del dominio in cui la f(x) è costante?;
  7. determinare y(2), y(-1/2), y(-12);
  8. stabilire $\displaystyle f^{-1}\left ( 1 \right ),\: f^{-1}\left ( 2 \right ),\, f^{-1}\left ( 4 \right ),$;
  9. la funzione è continua nel punto $\displaystyle x_{0}=4$ ? e in $\displaystyle x_{0}=0$ ?
  10. in $\displaystyle x_{0}=-1$ la funzione è continua o discontinua?