Integrale curvilineo ai differenziali d'arco

Integrale curvilineo ai differenziali d'arco

Quanto detto per gli integrali doppi estesi ad un dominio D si può riprendere sotto certe condizioni se D è una curva del piano ottenendo così la definizione di integrale curvilineo esteso ad una curva regolare.

Sia C una curva regolare aperta di e f(x,y) una funzione definita e continua su C.
Si dice integrale curvilineo di f(x,y)ds esteso alla curva regolare aperta C il seguente limite (esiste ed è finito):

1)\, \, \lim_{\sigma \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f\left ( u_{i},v_{i} \right )\cdot l_{i}

e si indica con il simbolo:

\int _{C}f(x,y)ds

Notiamo che la somma

\sum_{i=1}^{n}f\left ( u_{i},v_{i} \right )=l_{i}

 

è considerata come funzione di massima delle quantità

, ed è una funzione plurivoca di ; indicano le lunghezze degli archi in cui viene suddivisa la curva C, e punto qualsiasi dell'arco , con sulla curva C, coordinate cartesiane del punto .

Si dimostra che:

\int _{C}f\left ( x,y \right )ds=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right )\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt

 

avendo indicato con una rappresentazione parametrica della curva C.

\int _{C}f\left ( x,y \right )ds=\int_{h}^{k}f\left ( x,v(x) \right )\sqrt{1+v^{'2}(t)}dx

 

se C ammette rappresentazione parametrica cartesiana esplicita .

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