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Integrali impropri notevoli

Tabella degli integrali impropri notevoli

A) Integrali di potenze in $\displaystyle [0,b[,\, \, b>0$

$\displaystyle \int_{0}^{b }\frac{1}{x^{p}}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, se\, p<1 \\ diverge &\, se\, p\geq 1 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle \int_{a}^{b }\frac{1}{\left ( x-a \right )^{p}}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, se\, p<1 \\ diverge &\, se\, p\geq 1 \end{matrix}\right.$

Esempio 1.1.-

B) Integrabilità in  $[a,+\infty [$ $\displaystyle \forall\, \, a>0$

\[\int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x^{p }}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, per\, p>1 \\ diverge\, a\, +\infty &\, per\, p\leq 1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 2.1.- L’integrale $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{3}}dx$  converge perché a = 1 > 0 e p = 3 > 1.

Esempio 2.2- L’integrale  $\displaystyle \int_{3}^{+\infty }\frac{dx}{x^{123}}$  converge perchè a = 3 > 0 e p = 123 > 1.

Esempio 2.3.- I seguenti tre integrali divergono $\displaystyle \int_{3}^{+\infty }\frac{1}{x}dx, \, \, \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{x}}dx, \, \, \int_{\frac{1}{2}}^{+\infty }\frac{1}{x^{-5}}dx$  perchè l’esponente p è minore o uguale a 1. Nel primo caso è p = 1, nel secondo integrale è p = 1/3 e nel terzo caso p = -5.

Esempio 2.4.- Il seguente integrale diverge a più infinito$\displaystyle \int_{2}^{+\infty }\frac{1}{x^{0}}dx=\int_{2}^{+\infty }dx$.

C) Integrale improprio con potenza e logaritmo. Integrabilità in  $[a,+\infty [$ $\displaystyle \forall\, \, a>1$

\[\int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x^{p }\left ( lnx \right )^{q}}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, per\: p>1\, e\, \, \forall q\in R\\ converge &\, per\, p=1\, e\: q>1 \\ diverge(+\infty ) &\, per\, p<1\: e\: \forall\, q\in R \\ diverge(+\infty ) &\, per\, p=1\, e\, q\leq 1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 3.1.- I seguenti due integrali convergono $\displaystyle \int_{2}^{+\infty }\frac{1}{x(lnx)^{2}}dx,\, \, \int_{3}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}(lnx)^{3}}dx$ : il primo perché p = 1 e q = 2  > 1, il secondo perché p = 2  > 1 e q = 2.

Esempio 3.2.- I seguenti due integrali divergono $\displaystyle \int_{2}^{+\infty }\frac{1}{x(lnx)^{-2}}dx,\, \, \int_{3}^{+\infty }\frac{1}{x^{-2}(lnx)^{3}}dx$

Esempio 3.3.-

Integrabilità in $[0,b [$ $\displaystyle \forall\, \, 0<b<1$

\[\int_{0}^{b}\frac{1}{x^{p}\left | lnx \right |^{q}}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, se\, p<1,\forall q\in R \\ converge &\, se\, p=1,q>1 \\ diverge &\, se\, p>1,\forall q\in R \\ diverge &\, se\, p=1,q\leq 1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 4.1.-

D) Integrabilità in $]1,b ]$ $\displaystyle \forall\, \, b>1$

\[\int_{1}^{b}\frac{1}{(lnx)^{p}}dx=\left\{\begin{matrix} converge &\, se\, p<1 \\ diverge &\, se\, p\geq1 \end{matrix}\right.\]

Esempio 5.1.-