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Integrali impropri

Integrali impropri generalità e definizioni.

A) Integrali impropri del primo tipo.- Integrazione nell’intervallo illimitato  $\displaystyle [a,+\infty [$

\[\int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{a}^{t}f(x)dx\]

Se tale limite esiste ed è finito si dice che l’integrale improprio (o generalizzato) al primo membro è convergente e che la funzione f(x) è integrabile in  $\displaystyle [a,+\infty [$ in senso improprio o generalizzato. Se invece tale limite è infinito si dice che f(x) non è integrabile in senso improprio e che l’integrale è divergente ( $\displaystyle \pm \infty$ ); se invece tale limite non esiste si dice che la funzione f(x) non è integrabile in senso improprio e l’integrale è indeterminato.

Si ha:

\[\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim_{\begin{matrix} t\rightarrow +\infty & \\ s\rightarrow -\infty & \end{matrix}}\int_{s}^{t}f(x)dx\]

ove le variabili s e t tendono all’infinito in modo indipendente tra loro. Se il limite al secondo membro è finito si dice che l’integrale è convergente, se è infinito si dice divergente e se non esiste l’integrale è indeterminato.

Notiamo che vale la seguente formula:

\[\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int_{-\infty }^{a}f(x)dx+\int_{a}^{+\infty }f(x)dx,\, \, \, \, \, t\in R\]

se f(x) è integrabile in $\displaystyle [a,+\infty [$ e in $\displaystyle ]-\infty, a]$. In tal caso la funzione f(x) si dice integrabile in $\displaystyle ]-\infty,+\infty [$. Basta invece che la f(x) non sia integrabile in uno dei due intervalli e la f(x) non è integrabiile in $\displaystyle ]-\infty,+\infty [$.

Esempio 1.-1.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx$ . Si ha:

\[\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}\frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\left [\, ln\left | x \right |\, \right ]_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow +\infty }\left [ ln\, t-ln1 \right ]=\lim_{t\rightarrow +\infty }lnt=+\infty\]

Quindi l’integrale diverge a più infinito e la funzione 1/x non è integrabile in  $\displaystyle [1,+\infty [$

Esempio 1.2.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}dx$. Si ha:

\[\int_{1}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{1}^{t}x^{-2}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\left [ -\frac{1}{x} \right ]_{1}^{t}=\lim_{t\rightarrow +\infty }\left ( -\frac{1}{t}+1 \right )=0+1=1\]

Quindi l’integrale improprio assegnato converge e la funzione $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ è integrabile in $\displaystyle [1,+\infty [$

Esempio 1.3.- Vedi un altro esempio sul mio canale Youtube

Esempio 1.4.- Vedi un altro esempio sul mio canale Youtube

Esempio 1.5.- Calcolare il seguente integrale improprio \[\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{2x}{1+x^{4}}dx\]. Si ha:

\[\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{2x}{1+x^{4}}dx=\int_{-\infty }^{3 }\frac{2x}{1+x^{4}}dx+\int_{3}^{+\infty }\frac{2x}{1+x^{4}}dx=\lim_{s\rightarrow -\infty }\int_{s}^{3}\frac{2x}{1+x^{4}}dx+\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{3}^{t }\frac{2x}{1+x^{4}}dx+=…\]

da cui tenuto conto che

\[\lim_{s\rightarrow -\infty }\int_{s}^{3}\frac{2x}{1+x^{4}}dx=\lim_{s\rightarrow -\infty }\left [ arctan\left ( x^{2} \right ) \right ]_{s}^{3}=arctan(9)-\frac{\pi }{2}\]

e che

\[\lim_{t\rightarrow +\infty }\int_{3}^{t}\frac{2x}{1+x^{4}}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty }\left [ arctan\left ( x^{2} \right ) \right ]_{3}^{t}=\frac{\pi }{2}-arctan(9)\]

si ottiene che l’integrale assegnato vale zero, cioè è convergente.

B) Integrali impropri del secondo tipo.- Integrazione nell’intervallo limitato  $\displaystyle [a,b ]$ di una funzione  f(x) illimitata in x = b.

Si ha:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx\]

 

se il limite al secondo membro esiste finito si dice che f(x) è integrabile in senso improprio in $\displaystyle [a,b]$ e l’integrale è convergente; se invece il limite è infinito si dice che la funzione f(x) non è integrabile in $\displaystyle [a,b]$ e l’integrale è divergente e se il limite non esiste si dice che  f(x) non integrabile e l’integrale è indeterminato.

Analogamente, se f(x) è  illimitata in x = a, si ha:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\int_{a+\delta }^{b}f(x)dx\]

e si dice che f(x) è integrabile in $\displaystyle [a,b]$ se il limite è finito e l’integrale si dice convergente; se il limite è infinito la f(x)  non è integrabile e l’integrale è divergente; se poi il limite non esiste la f(x) non è integrabile e l’integrale è indeterminato.

Lo stesso si può definire l’integrale improprio di una funzione che sia illimitata in x = a e in x = b e che sia limitata e integrabile in ogni intervallo del tipo $\displaystyle \left [ a+\delta ,b+\varepsilon \right ]$ strettamente contenuto in [a, b]. Si ha dunque:

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\begin{matrix} \delta \rightarrow 0^{+} & \\ \varepsilon \rightarrow 0^{+} & \end{matrix}}\int_{a+\delta }^{b-\varepsilon }f(x)dx\]

con le variabili $\displaystyle \delta ,\varepsilon$ che tendono a zero in modo indipendente tra loro..

Vale la seguente formula:

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{t}f(x)dx+\int_{t}^{b}f(x)dx$

se t è un punto interno all’intervallo  [a, b] in cui è illimitata e se f(x) è integrabile in senso improprio in [a, t ] e [ t, b]. Analogamente si procede se la funzione f(x) presenta un numero finito di punti dell’intervallo [a, b] in cui è illilimitata.

Esempio 2.1.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx$. Si ha

\[\int_{-1}^{0}\frac{1}{x}dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}}\int_{-1}^{\varepsilon }\frac{1}{x}dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}}\left [ ln\left | x \right | \right ]_{-1}^{\varepsilon }=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}}=\left ( ln\left | \varepsilon \right |-ln\left | -1 \right | \right )=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{-}}\left ( ln(-\varepsilon ) -0\right )=-\infty\]

Quindi l’integrale diverge a meno infinito e la funzione 1/x non è integrabile in [-1, 0]. Notiamo che la funzione non è definita in x = 0 e che il limite  in zero da sinistra vale meno infinito.

Esempio 2.2.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{0}^{1 }\frac{1}{x}dx$. Si ha:

\[\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\varepsilon }^{1}\frac{1}{x}dx= \left [ lnx \right ]_{\varepsilon }^{1}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left ( ln1-ln\varepsilon \right )=0-ln0=+\infty\]

Quindi l’integrale diverge a più infinito e la funzione 1/x non è integrabile in  $\displaystyle [0,1]$. Osserviamo che la funzione 1/x non è definita in x = 0 e che il suo limite da destra vale  più infinito.

Esempio 2.3.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{x-2}}dx$

Esempio 2.4.-  Calcolare il seguente integrale improprio . Si ha:

C) Integrali impropri del terzo tipo sono quelli che sono contemporaneamente del primo tipo e del secondo tipo.

Esempio 3.1.-  Calcolare il seguente integrale improprio $\displaystyle \int_{0}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}dx$. Si ha:

D) CRITERI DI CONVERGENZA PER UN INTEGRALE IMPROPRIO
I seguenti criteri permettono di stabilire la convergenza di un integrale improprio  nei casi in cui non è possibile determinare una primitiva esplicita delle funzione integranda. 

  1. Criterio del confronto (clicca qui)
  2. Criterio del confronto asintotico (clicca qui)