N.1.- Quarto problema Sessione Ordinaria 1976.- Si dimostri che \[\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k+1}+\binom{n}{k}\]
N.2.- Quarto problema Sessione Ordinaria 1981.- Si dimostri che \[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}\]
N.3.-Quarto quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2017.- Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo [0, 2] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione: \[f(x)=\frac{3}{2}x^{2}-\frac{3}{4}x^{3}\] Quale sarà il valore medio dei numeri generati?
Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 4/3?
Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1?
N.4.-Ottavo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2017.- Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità ? doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di ? in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte.
N.5.-Quarto quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2016.- Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
N.6.-Settimo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2016.- Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per
la casella indicata con B?
N.7.-Terzo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2015.- Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?
N.8.-Sesto quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2013.- Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 721-esima posizione?
N.9.-Quarto quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2011.- Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.
Risoluzione
\[\binom{n}{4}=\binom{n}{3}\Rightarrow\]
\[\Rightarrow \frac{n!}{4!(n-4!)}=\frac{n!}{3!(n-3)}\]
da cui
\[ 4(n-4)!=(n-3)!\Rightarrow n=7\]
Ottavo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2010.- Se n > 3 e \[\binom{n}{n-1},\binom{n}{n-2},\binom{n}{n-3}\] sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
Settimo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2009.- Si dimostri l’identità \[\binom{n}{k+1}=\binom{n}{k}\frac{n-k}{k+1}\] con n e k naturali e n > k.
Sesto quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2008.- Se \[\binom{n}{1},\binom{n}{2},\binom{n}{3}\] con n > 3 sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?
Ottavo quesito del Questionario, Sessione Ordinaria 2008.- Si risolva l’equazione:\[4\binom{n}{4}=15\binom{n-2}{3}\]
Risoluzione
da cui
\[\frac{n(n-1)(n-2)(n-3(n-4)!}{6\left ( n-4 \right )!}=\]
\[5\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}{2n(n-1)(n-5)!}\]
e semplificando \[\frac{1}{6}=\frac{5}{2n(n-1)}\Rightarrow n=6\]