1.Principio: Un giudizio può essere vero; un giudizio può essere falso.
Notiamo che in base a tale principio si possono verificare 4 casi:
- Un giudizio è vero;
- Un giudizio è falso;
- Un giudizio è vero e falso (contemporaneamente);
- Un giudizio è né vero né falso.
Da giudizi a proposizioni: L’espressione formale di un giudizio, con simboli e parole, si dice proposizione. Una proposizione è semplice se ogni sua parte non è un’altra proposizione, cioè non esprime un giudizio; altrimenti si dirà composta, cioè se è formata da più proposizioni collegate tra loro con connettivi.
Esempi di proposizioni semplici.- “Antonio è alto 170 centimetri”, è una proposizione semplice. “Milano è in Italia” è una proposizione semplice. “Parigi è in Spagna” è una proposizione semplice.
Esempi di proposizioni composte.- “Antonio è alto 170 centimetri e Adriana pesa 50 chili”, è una proposizione composta. “Milano è in Italia e Parigi in Francia” è una proposizione composta.
Una proposizione semplice si può indicare specificando il soggetto T che gode della proprietà (predicato) P. In genere le proposizioni si indicano con una lettera minuscola.
Si dice che una proposizione è vera se il giudizio che esprime è vero, altrimenti si dice falsa se il giudizio che esprime è falso.
Esempi di proposizioni semplici vere o false.- La proposizione p: “Milano è in Italia” è una proposizione semplice vera, scriveremo pV. “Parigi è in Spagna” è una proposizione semplice falsa, scriveremo pF.
2. Principio di non contraddizione: Ogni proposizione non può essere vera e falsa contemporaneamente.
3. Principio del terzo escluso: Ogni proposizione o è vero o è falsa.
I due principi 2 e 3 si possono raccogliere in un unico principio: Ogni proposizione o è vera o è falsa, ma non contemporaneamente vera e falsa.
Proposizioni composte (o formula proposizionale)
1) Negazione.- Sia p una proposizione. Si dice proposizione contraddittoria o negazione di p la proposizione che si ottiene da p inserendo in essa in modo opportuno la parola “non” oppure le parole “Non è vero che …”. Tale nuova proposizione si indica con il simbolo $\displaystyle \sim p$, e si legge “p negata” o anche “non p”.
Esempi di proposizioni negate.- La proposizione p: “Milano è in Italia” si nega con $\displaystyle \sim p$ : “Milano non è in Italia” o anche con $\displaystyle \sim p$ : “Non è vero che Milano è in Italia”. In questo esempio p è Vera e $\displaystyle \sim p$ Falsa.
2) Intersezione (Prodotto logico).- Siano p e q due proposizioni. La proposizione che si ottiene connettendo p, q con “e”, e si scrive $\displaystyle p\wedge q$, si chiama congiunzione di p e q; si legge “p e q”.
3) Unione (Somma logica).- Siano p e q due proposizioni. La proposizione che si ottiene connettendo p, q con “o”, e si scrive $\displaystyle p\vee q$ , si chiama disgiunzione di p e q; si legge “p o q”. La “o” non è da intendersi esclusiva.
4) Implicazione.- Siano p e q due proposizioni. La proposizione che si ottiene connettendo p, q con ” se p allora q” oppure “p implica q” e si scrive $\displaystyle p\rightarrow q$, si chiama implicazione di p e q; si legge “p implica q”.
5) Equivalenza.- Siano p e q due proposizioni. La proposizione che si ottiene connettendo p, q con ” p se e solo se q” e si scrive $\displaystyle p\leftrightarrow q$, si chiama equivalenza di p e q; si legge “p è equivalente a q”.
Algebra delle proposizioni
L’algebra delle proposizioni si fonda sulle seguenti regole (postulati):
1)La negazione di una proposizione vera è falsa; la negazione di una proposizione falsa è vera.
2)La congiunzione di due proposizioni p e q è vera se e soltanto se ogni sua componente è vera, altrimenti è falsa.
3).La disgiunzione di due proposizioni p e q è falsa se se solo se ogni sua componente è falsa, altrimenti è vera.
4)L’Implicazione $\displaystyle p\rightarrow q$ è falsa se e solo se p è vera e q falsa, altrimenti è vera.
5)L’equivalenza $\displaystyle p\leftrightarrow q$ è falsa se e solo se una delle proposizioni p e q è vera e l’altra è falsa, altrimenti è vera.
Implicazione logica ed equivalenza logica
Se due proposizioni p e q sono tali che $\displaystyle p\rightarrow q$ è vera, si dice che p implica logicamente q e si scrive $\displaystyle p\Rightarrow q$, da leggersi in uno dei seguenti modi: ” q è dedotto da p”, “da p segue q”, ecc.
Notiamo dunque che i simboli $\displaystyle \rightarrow ,\Rightarrow$ hanno significato differente.
Se due proposizioni p e q sono entrambe vere o entrambe false, cioè tali che $\displaystyle p\leftrightarrow q$ è vera, si dice che sono logicamente equivalenti e si scrive $\displaystyle p\Leftrightarrow q$, da leggersi “p è equivalente a q”.
Notiamo dunque che i simboli $\displaystyle \leftrightarrow ,\Leftrightarrow$ hanno significato differente.