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Problema assegnato alle Olimpiadi di matematica

Problema assegnato alle Olimpiadi di matematica

Problema.- Dato il numero

1 / 2008

determinare la 2007-esima, la 2008-esima e la 2009 -esima cifra dopo la virgola del rapporto 1/2008.

Risoluzione

Scomponiamo 2008 in fattori primi e si ha:

2008 = 23 x 50 x 251

dunque 1/2008 avrà un antiperiodo di 3 cifre, uguale al massimo tra gli esponenti di 2 e di 5; la lunghezza del periodo della frazione è l’ordine moltiplicativo di 10 modulo 251, cioè 50 (questo ordine moltiplicativo deve dividere 251 – 1 = 250 ).

Allora, dato che 2007, 2008, 2009 sono congrui a 7, 8, 9 modulo 50, le cifre cercate sono la settima, l’ottava e la nona (che si trovano a mano facendo la divisione).
Facendo la divisione a mano ( o con calcolatrice) 1 : 2008 si ottiene:

0,000498007

Le cifre richieste sono: 0, 0, 7.