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Problemi tipici con le frazioni

Esaminiamo con alcuni tipici problemi con le frazioni.

Esempio 1.- Dal totale alla parte. Calcolare  i 3/4 di 28.

Rioluzione

Bisogna moltiplicare 28 per 3/4, ossia:

     28 x 3/4 = 7 x 3 = 21

Possiamo indicare questo problema come il calcolo di una parte del totale e impostarlo schematicamente così:

totale_parte_1

x = T  x  n/m

Nell’esempio 1 il totale è T = 28 e la frazione è n/m = 3/4, mentre la parte da calcolare è x = 21, cioè 21 è i 3/4 di 28. Questo problema “Dal totale alla parte” lo possiamo anche chiamare problema diretto con le frazioni, mentre si chiama problema inverso quando si conosce la parte e si vuole calcolare il totale.

Esempio 2.- Dalla parte al totale. Sapendo che 36 è i 3/4 di una data quantità, calcolare la quantità.

Risoluzione

Bisogna moltiplicare 36 per 4/3, inverso della frazione 3/4, ossia:

x =  36 x 4/3 = 12 x 4 = 48

Possiamo indicare questo problema come schematicamente così:

totale_parte_2

 x = P  x  m/n

Esempio 3.- Sapendo che un negozio vende 30 bottiglie di Rum su 150 bottiglie di alcolici vendute calcolare la frazione e la percentuale di bottiglie di Rum vendute.

Risoluzione

Bisogna fare il rapporto tra il numero delle bottiglie di Rum vendute e il numero totale
di bottiglie vendute:

    x = 30 / 150 = 1/5

il che ci indica che sul totale di 150 bottiglie, inteso come 1, 1/5 risultano quelle di Rum vendute. Per sapere la percentuale di bottiglie vendute basta eseguire la divisione 1/5 e moltiplicare il risultato per 100:

1/5  x 100 = 0,2 x 100 = 20% 

e ciò indica che su 150 bottiglie vendute  30 sono di Rum.
Possiamo indicare questo problema come schematicamente così:

totale_parte_3

      frazione:  x = P / T

     percentuale: x = P / T  x 100

Questi tre tipi di problemi sono alla base di problemi più complessi con le frazioni.

Esempio 4.-  Un rivenditore di automobili vende in un anno 273 auto di tre marche differenti (Fiat, Mercedes, Renault). Sapendo che 1/3 sono Fiat, 2/7 sono Mercedes  calcolare il numero di Renault vendute.

Possiamo procedere in due modi differenti.

Primo Metodo.-  Schematizziamo il problema con un rettangolo,  ossia immaginiamo che il parco auto vendute sia rappresentato come nella seguente figura:

totale_parte_4

Indicando tutto il parco auto vendute con 1, il totale in senso frazionario, e tenuto conto che le Fiat vendute sono 1/3 del totale e le Mercedes 2/7 si ricava che le Renault vendute sono

   1 – (2/7 + 1/3 ) = 8/21 del totale.

Quindi il numero di Renault (parte) sono 8/21 del totale (T) e si possono calcolare con la formula del problema diretto:

   R = 273 x 8 / 21 = 13 x 8 = 104

Secondo metodo.- Sapendo che il parco auto vendute è di 273 calcoliamo preliminarmente il numero di Fiat e Mercedes vendute. Si ha:

F = 273 x 1/3 = 91

M = 273 x 2/7 =78

Di conseguenza il numero di Renault vendute è:

  R = Totale auto vendute –  (F +  M) = 273 – (91 + 78) = 104.

Esempio 5.- Un tale percorre in tre giorni 290 km. Sapendo che il secondo giorno percorre 11/12 del primo giorno e che  il terzo giorno percorre 6/11 del secondo, determinare quanto percorre il primo giorno.

totale_parte_5

Risoluzione

Sia AB il percorso del primo giorno, BC quello del secondo giorno e CD quello del terzo giorno.
Indichiamo con AB = 1 il percorso fatto il primo giorno. Di conseguenza il percorso fatto il secondo giorno sarà CD = 11/12, mentre il percorso fatto il terzo giorno sarà CD = (6/11) x
(11/12) = 1/2.

Pertanto tutto il percorso in termini frazionari è:

AB = 1 + 11/12 + 1/ 2 = 29/12.

Sapendo che tutto il percorso è di 290 km possiamo calcolare la lunghezza di AB così:

AB = 290 x 12/29 = 10 ´ 12 = 120 km.