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Progressioni geometriche

Progressioni geometriche
Consideriamo una successione finita di numeri reali: \[a_{1},a_{2},…,a_{n-1},a_{n}\]
ove il termine generico $\displaystyle \large a_{i}$  appartiene ad R per ogni i=1, 2, 3, …, n-1, n;  $\displaystyle \large a_{i}$ si dice termine i-esimo della successione (progressione)
Il termine $\displaystyle a_{1}$ è il primo termine della successione (progressione),  $\displaystyle a_{n}$ è il termine ennesimo (n-esimo) della successione (progressione).

Definizione di progressione geometrica
Si dice che la successione

\[a_{1},a_{2},…,a_{n-1},a_{n}\]

è una progressione geometrica se il rapporto (detto ragione) tra un qualsiasi termine della progressione e il suo termine precedente è costante:\[\frac{a_{i}}{a_{i-1}}=q\] q si dice ragione della progressione.

Formule

1) \[a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\]

La formula 1) permette di calcolare il termine di posto n ( ) di una progressione geometrica conoscendo il primo termine, la ragione q e il posto n occupato dal termine nella progressione

2) \[a_{j}=a_{i}\cdot q^{j-i}\]
con j > i
La formula 2) permette di calcolare il termine di posto j (compreso tra il primo e l’ultimo) di una progressione geometrica conoscendo un termine ad esso precedente, la ragione q e il posto j ed i occupato dai due termine nella progressione.
La formula (2) equivale alla formula (1) non appena si scelga j = n e i = 1.

3)  \[S_{n}=a_{1}\cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}\]

La formula 3) permette di calcolare la somma di n termini della progressione geometrica conoscendo il primo termine , la ragione q  e il posto n.

4) Per inserire m medi geometrici tra due numeri dati a e b di una progressione aritmetica occorre determinare la ragione q della progressione con la formula:

\[q=\sqrt[n+1]{\frac{b}{a}}\]

ove se n è pari si ottiene una sola progressione, se n è dispari due.

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