Esempio 1.1.- Progressioni aritmetiche. Sapendo che il primo termine e la ragione di una progressione aritmetica sono $\displaystyle a_{1}=2,\, d=3$ calcolare $\displaystyle a_{19}=2,S_{19}$.
Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio video su Youtube
Esempio 1.2.- Sapendo che il termine di indice n = 17 di una progressione aritmetica è 230 e che la ragione è d = 5 calcolare il primo termine della progressione.
Risoluzione
Per risolvere l’esercizio basta applicare la formula:
$\displaystyle a_{1}=a_{17}-(n-1)d\Rightarrow a_{1}=230-(17-1)5=150$
Esempio 1.3.- Determina tre numeri in progressione aritmetica sapendo che la loro somma è 0 e che la somma dei loro quadrati è 8.
Risultato: – 2, 0, 2
Esempio 1.4.-Non sai risolvere l’esercizio? Allora vedi il mio video su Youtube
Esempio 2.1.- Problema di fisica con le progressioni aritmetiche. Sapendo che la temperatura del sottosuolo terrestre cresce di un 1° grado ogni 30 metri di profondità e che in superficie la temperatura è di 20° gradi stabilire la temperatura alla profondità di 600 metri. Calcolare inoltre a quale profondità la temperatura sarà di 50° gradi.
Per la risoluzione vedi il video
Esempio 2.2.- Problema: Due punti mobili partono da A e da B e percorrono la retta AB in senso opposto; il primo percorre 2 metri nel primo minuto, 3 metri nel secondo, 4 nel terzo e così via. Il secondo B, percorre 1 metro nel primo minuto, 3 metri nel secondo, 5 metri nel terzo e così via. Sapendo che la distanza AB è di 630 metri, stabilire dopo quanti minuti si incontrano i due mobili A e B.
Vedi la risoluzione proposta nel mio video
Esempio 3.- Problema di geometria con le progressioni aritmetiche. Sapendo che le misure dei lati di un triangolo rettangolo sono in progressione aritmetica e che la sua area è $A=\frac{25}{6}a^{2}$ determinare il perimetro del triangolo
Vedi il video
Esempio 4.- Quanti colpi batte un pendolo di 12 ore, se batte le sole ore?
Risoluzione
Il pendolo batte (suona, avvisa che è l’ora…) 1 colpo alla prima ora, 2 colpi alla seconda, 3 colpi alla terza ora…ecc.
Si tratta dunque di una progressione aritmetica di primo termine 1 ragione 1 e 12 come ultimo termine. Sommando i colpi battuti si ha 78
Esempio 5.- Le età di cinque fratelli sono in progressione aritmetica; la somma delle età è 40. Determina le età di tutti i fratelli sapendo che l’età del maggiore supera di 12 quella del minore.
Suggerimento. Indicato con $\displaystyle S_{5}$ la somma delle età dei cinque fratelli, in progressione aritmetica, $\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$, si ha che $\displaystyle a_{1}+a_{5}=16,\, \, a_{1}+12=a_{5}$…
Risultato: 2, 5, 8, 11, 14.
Esempio 4.1.- Progressioni geometriche.- Sapendo che il secondo termine e la ragione di una progressione geometrica sono $\displaystyle a_{2}=4,\, q=2$ e $\displaystyle a_{n}=256$. Calcolare l’indice n.
Non sai risolvere l’esercizio? Allora vedi il mio video sul Youtube
Esempio 4.2.- Risolvi il seguente esercizio
Non sai risolvere l’esercizio? Allora vedi il mio video su Youtube
Esempio 4.3.- Risolvi il seguente esercizio
Vedi il mio video se non riesci a risolvere l’esercizio.
Esempio 4.4.- Altro video
Altro video
Esempio 4.5.- Sapendo che il termine ennesimo e la ragione di una progressione geometrica sono $\displaystyle a_{n}=1,\, q=1/2$ e che $\displaystyle S_{n}=15$. Calcolare il primo termine della progressione e l’indice n.
Se non sai risolvere l’esercizio vedi il mio video
Esempio 4.6.- In una progressione geometrica i prime tre termini sono tali che $\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}=214$ e $\displaystyle \frac{a_{3}}{a_{1}}=4$. Calcolare i primi tre termini della progressione.
Vedi il mio video se non riesci a risolvere l’esercizio.
Esempio 4.7.- Tre numeri sono in progressione geometrica, sapendo che la loro somma è 41 e che il loro prodotto è 2223 determina i tre numeri.
Risultato: 9, 13 19.
Esempio 4.8.- In una progressione geometrica il primo termine è 16 e $a_{n}=\frac{1}{4}$. Determinare n sapendo che $S_{n}=\frac{127}{4}$
Risoluzione
Occorre risolver il seguente sistema:
\[\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4} =& 16q^{n-1} \\\frac{127}{4} =& 16\frac{1-q^{n}}{1-q} \\\end{matrix}\right.\]
nelle incognite n e q.