Consideriamo una successione finita di numeri reali
\[a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n-1},a_{n}\]
con $\displaystyle a_{i}$ appartenente ad R per ogni i =1, 2, 3, …, n-1, n; $\displaystyle a_{i}$ si dice termine i-esimo della successione (progressione).
Il termine $\displaystyle a_{1}$ è il primo termine della progressione, $\displaystyle a_{n}$ è il termine ennesimo (n-esimo) della successione (progressione).
Definizione
Si dice che la successione
\[a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n-1},a_{n}\]
è una progressione aritmetica se la differenza (detta ragione) tra un qualsiasi termine della progressione e il suo precedente è costante:
\[a_{i}-a_{i-1}=d\]
d si dice ragione della progressione.
Formule
1) \[a_{n}=a_{1}+(n-1)d\]
La formula 1) permette di calcolare il termine di posto n di una progressione conoscendo il primo termine, la ragione d e il posto n occupato dal termine nella progressione.
2) \[a_{j}=a_{i}+(j-i)d\]
con j > i. La formula 2) permette di calcolare il termine di posto j (compreso tra il primo e l’ultimo) di una progressione conoscendo un termine ad esso precedente, la ragione d e il posto j ed i occupato dai due termine nella progressione.
La formula (2) equivale alla formula (1) non appena si scelga j = n e i = 1.
3) \[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\]
La formula 3) permette di calcolare la somma di n termini della progressione aritmetica conoscendo il primo termine $a_{1}$ e l’ultimo termine $a_{n}$ e il posto n.
Esempi 1.- Clicca qui
4) Per inserire m medi aritmetici tra due numeri dati a e b di una progressione aritmetica occorre determinare la ragione d della progressione con la formula:
\[d=\frac{b-a}{m+1},\, \,\, \, \, b>a\]
Puoi vedere alcuni esercizi più difficili sul mio canale Youtube