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Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche
Consideriamo una successione finita di numeri reali

\[a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n-1},a_{n}\]

con $\displaystyle a_{i}$ appartenente ad R per ogni i =1, 2, 3, …, n-1, n; $\displaystyle a_{i}$ si dice termine i-esimo della successione (progressione).
Il termine $\displaystyle a_{1}$ è il primo termine della progressione, $\displaystyle a_{n}$ è il termine ennesimo (n-esimo) della successione (progressione).

Definizione
Si dice che la successione

\[a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n-1},a_{n}\]

è una progressione aritmetica se la differenza (detta ragione) tra un qualsiasi termine della progressione e il suo precedente è costante:

\[a_{i}-a_{i-1}=d\]

d si dice ragione della progressione.

Formule

1)   \[a_{n}=a_{1}+(n-1)d\]

La formula 1) permette di calcolare il termine di posto n di una progressione conoscendo il primo termine, la ragione d e il posto n occupato dal termine nella progressione.

2) \[a_{j}=a_{i}+(j-i)d\]

con j > i. La formula 2) permette di calcolare il termine di posto j (compreso tra il primo e l’ultimo) di una progressione conoscendo un termine ad esso precedente, la ragione d e il posto j ed i occupato dai due termine nella progressione.
La formula (2) equivale alla formula (1) non appena si scelga j = n e i = 1.

3) \[S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\]

La formula 3) permette di calcolare la somma di n termini della progressione aritmetica conoscendo il primo termine [a_{i}\] e l’ultimo termine \[a_{n}\]  e il posto n.

4) Per inserire m medi aritmetici tra due numeri dati a e b di una progressione aritmetica occorre determinare la ragione d della progressione con la formula:

\[d=\frac{b-a}{m+1},\, \,\, \, \, b>a\]

Puoi vedere alcuni esercizi più difficili sul mio canale Youtube