Prova 1 (2002)
Esercizio 1.- Calcolare sup ed inf dell’insieme A:
\[ A=\left\{x\in R:x=\frac{n}{n-\frac{1}{2}},n\in N \right\}\]
dire se essi sono rispettivamente massimo e minino dell’insieme.
Esercizio 2.- Trovare i punti interni e di frontiera dell’intervallo ]0,1[.
Esercizio 3.- Calcolare il limite
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{n^{2}+n-1}-\sqrt{n^{2}+2} \right )\]
Esercizio 4.- Determinare il dominio di definizione delle seguenti funzioni:
\[ ln\sqrt{x+1},\, \, \, \, \sqrt{lnln(x-2)}\]
Esercizio 5.- Calcolare le derivate delle funzioni assumendo come dominio di definizione per ciascuna il sottoinsieme di R per cui la rispettiva formula ha significato
\[ \frac{x^{2}-1}{x(x+2)},\: \: \: ln\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right )\]
Esercizio 6.- Calcolare i seguenti limiti di funzioni
\[ \displaystyle \lim_{x \to 0}\left ( \frac{1}{x}-\frac{cosx}{senx} \right )\]
\[ \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}}\left ( x-1 \right )^{\alpha }ln(x-1),\, \, \alpha >0\]
Esercizio 7.- Calcolare gli integrali
\[ \int \frac{dx}{x^{2}(x+1)},\, \, \int e^{x}senx\, dx\]
Esercizio 8.- Tracciare il grafico della funzione
\[ f(x)=-ln(senx)\]
Prova 2 (2003)
Esercizio 1.- Determinare l’insieme di definizione della funzione
\[ f(x)= arcsen\left ( e^{2x}+e^{x}-1 \right )\]
Esercizio 2.- Determinare gli estremi relativi e assoluti della funzione
\[ f(x)= ln(x-1)-5arctanx\]
Esercizio 3.- Calcolare il seguente limite
\[ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x-tanx}{\left ( e^{2x} -1\right )ln\left ( 1+x^{2} \right )}\]
Esercizio 4.- Calcolare il seguente limite
\[ \displaystyle \lim_{n \to \infty }(n-\sqrt{n^{2}+3n})\]
Esercizio 5.- Calcolare il seguente integrale indefinito
\[ \int\left ( ln\, 3x \right )^{2}dx\]