Esempio 1.1.- Stabilire se il polinomio $\displaystyle P(x)=x^{3}-3x+2$ è divisibile per uno dei seguenti binomi di primo grado:
$\displaystyle x-2,\, \, x-1,\, \, \, x+3$.
Risoluzione
Per stabilire se il polinomio è divisbile per x – 2 bisogna calcolare il valore del polinomio per x = 2, il che si ottiene sostituendo x = 2 al posto di x nel polinomio ed eseguendo i calcoli. Se il risultato di tale calcolo è zero allora il polinomio P(x) è divisibile per x – 2. Si ha:
$\displaystyle P(2)=(2)^{3}-3(2)+2=8-6+2=4\neq 0$
dunque il polinomio non è divisibile per x – 2.
Mentre il polinomo dato è divisibile per x – 1, infatti si ha:
$\displaystyle P(+1)=(+1)^{3}-3(+1)+2=+1-3+2=0$
Vediamo se è divisibile per x + 3. Si ha:
$\displaystyle P(-3)=(-3)^{3}-3(-3)+2=-27+9+2=-16\neq 0$
e quindi P(x) non è divisibile per x + 3.
Esempio 1.2.- Stabilire se il polinomio $\displaystyle P(x)=x^{4}-x^{3}+10x-4$ è divisibile per uno dei seguenti binomi di primo grado:
\[x+1,\, \, x-1,\, \, \, x+3,\, \, x+2\]
Esempio 1.3.- Stabilire se il polinomio $\displaystyle P(x)=3x^{4}-5x^{3}+12x-3$ è divisibile per uno dei seguenti binomi di primo grado:
\[x+1,\,\, \, x-\frac{2}{3},\, \, \, x+\frac{1}{2}\]
Esempio 1.4.-** Stabilire il valore di k per il quale il polinomio $\displaystyle P(x)=8x^{4}-kx^{3}+10x+5k$ sia divisibile per ognuno dei seguenti binomi di primo grado:
\[x+1,\,\, \, x-2,\, \, \, x+\frac{1}{2}\]
Risoluzione
Nel primo caso calcoliamo il valore del polinomio P(x) per x = -1. Si ha:
\[P(-1)=8(-1)^{4}-k(-1)^{3}+10(-1)+5k=8+k-10+5k=6k-2\]
ma visto che vogliamo che P(x) sia divibile per x + 1, si ha \[P(-1)=0\, \, \, \rightarrow 6\, \, \, \, k-2=0\rightarrow k=\frac{1}{3}\]
Regola di Ruffini.- La regola di Ruffini è una procedura per stabilire il quoziente e il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado del tipo x – c.
(in preparazione)
Esempio 2.1.- Stabilire quoziente e resto della divisione tra il polinomio $\displaystyle P(x)=-3x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+x+1$ e ognuno dei seguenti binomi di primo grado:
$\displaystyle x+2,\, \, x-1,\, \, \, x-3$.
Regola del Resto.- Il resto della divisione tra un polinomio P(x) e un binomio di primo grado del tipo x – c è il valore che assume il polinomio P(x) per x = c.
Esempio 3.1.- Stabilire il resto della divisione tra il polinomio $\displaystyle P(x)=-x^{4}+x^{3}-3x^{2}+x+2$ e ognuno dei seguenti binomi di primo grado:
$\displaystyle x-2,\, \, x-1,\, \, \, x+3$.
Esempio 3.2.- Stabilire il resto della divisione tra il polinomio $\displaystyle P(x)=-x^{5}-x^{3}-2x^{2}-x-2$
e i polinomi:
\[2x-1,\,\, \, 3x+2,\, \, \, x+\frac{1}{3}\]