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Teoremi veri e teoremi falsi

Il seguente test è basato su una batteria di 82 test, suddivisi in quattro parti, che propongono delle proposizioni matematiche.
Bisogna individuare quelle vere e quelle false. I teoremi non sono in ordine di difficoltà.

TEST 1.

  1. Teorema.- La somma dei primi n numeri naturali è uguale a $\displaystyle \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$
  2. Teorema.- La somma dei primi n numeri naturali dispari è un quadrato perfetto.
  3. Teorema.- La somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è uguale a\[\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}\]
  4. Teorema.- La somma dei cubi dei primi n numeri n naturali è uguale a\[\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2^{2}}\]
  5. Teorema.- Se un numero a divide i numeri b e c allora divide anche la somma b + c, il prodotto bc, la differenza b – c, il quoziente b/c e la potenza bc.
  6. Teorema.- Se a e multiplo di b allora il minimo comune multiplo tra a e b è a.
  7. Teorema.- Se a è multiplo di b allora il massimo comune divisore tra a e b è b.
  8. Teorema.- Se a divide b e b divide c allora a divide c.
  9. Teorema.- Qualsiasi cifra α seguita da un numero qualsiasi di zeri è sempre uguale ad un multiplo di 9 aumentato di α.
  10. Teorema.- Se un numero n è divisibile per a, b e c allora è divisibile anche per i prodotti ab, ac, bc, abc.
  11. Teorema.- Ogni numero o è primo o è scomponibile in un prodotto di fattori primi.
  12. Teorema.- Se a divisibile per b e per c allora a è divisibile per bc.
  13. Teorema.- Se a è divisibile per b e per c e i numeri b e c sono primi allora a è divisibile per bc.

TEST 2

  1. Teorema.- L’unità seguita da un numero pari di zeri è uguale ad un multiplo di 11 aumentato di 1.
  2. Teorema.- La formula \[991n^{2}+1\]non esprime mai un quadrato perfetto al variare di n in N.
  3. Teorema.- Per ogni intero positivo n, il numero \[n^{3}-n\] è divisibile per 3. Vero
  4. Teorema.- Per ogni intero positivo n, il numero \[n^{k}-n\] è divisibile per k.
  5. Teorema.- Se un numero intero positivo n non ammette radice quadrata perfetta in N non l’ammette nemmeno in Q.
  6. Teorema.- \[\frac{a}{b}=\frac{c\cdot a}{c\cdot b},\, \, \, \, \forall a,b,c\in R\]
  7. Teorema.- Se a = b allora \[\sqrt{a}=\sqrt{b}\]
  8. Teorema.- Se \[a^{2}=b^{2}\] allora a = b .
  9. Teorema.-  \[\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}},\, \, \forall x\in R\]
  10. Teorema.- \[a^{x}+a^{y}=a^{x+y},\, \, \, \, \, \forall x,y\in R,a>0,a\neq 1\]
  11. Teorema.- \[\left ( \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{b}\cdot \sqrt[4]{x}\right )^{x}=\sqrt{a^{x}}\cdot \sqrt[3]{b^{x}}\cdot \sqrt[4]{c^{x}},\, \, \forall x\in R,a,b,c\, \, \, non\: negativi\]
  12. Teorema.- \[log_{a}\left ( x+y \right )=log_{a}\, x+log_{a}y\, \, \, \forall x,y\in R^{+},a>0,a\neq 1\]
  13. Teorema.- \[log_{a}\, x+log_{a}=log_{a}\left ( xy \right )\, ,\, \, \forall x,y\in R^{+},a>0,a\neq 1\]

Test 3

  1. Teorema.- In un triangolo rettangolo isoscele l’ipotenusa non è commensurabile con il lato, cioè il rapporto tra il lato e l’ipotenusa del triangolo non è un numero razionale.
  2. Teorema.- Se per x = c il polinomio P(x) assume valore uguale a p allora la divisione P(x) diviso x – c dà per resto p.
  3. Teorema.- Sia \[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}\] un’equazione avente la soluzione \[x=c,\, \, \, c\in \left [ a,b \right ]\] con b > 0. Se la divisione del polinomio P(x) : (x – b) dà un polinomio i cui coefficienti sono concordi con il resto, allora l’equazione non ammette ulteriori soluzioni per x > b.
  4. Teorema.- Siano \[P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0}\]   un polinomio a coefficienti interi e \[\frac{\alpha }{\beta }, \, \, \, \, \, (\alpha ,\beta\, \, coprimi)\] uno zero razionale di P(x). Allora \[\alpha\, \, \, divide\, \, a_{0}\, \, \, e\, \, \, \beta\,\, \, divide\, \, \, a_{n}\]
  5. Teorema.- Ogni equazione P(x) = 0, con P(x) polinomio di grado n, ammette in R almeno una soluzione.
  6. Teorema.- Se l’equazione P(x) = 0 ammette la soluzione x = c, allora anche l’equazione α × P(x) = 0, ammette la soluzione x = c.
  7. Teorema.- Un’equazione reciproca se ammette la soluzione x = – c, ammette anche la soluzione x = -1/c.
  8. Teorema.- La disequazione \[ax^{2}+bx+c>0, \, \, con\, \, \Delta >0\] non ammette soluzioni.
  9. Teorema.- La disequazione \[ax^{2}+bx+c>0, \, \, con\, \, \Delta =0\, \, a>0\] ammette infinite soluzioni.
  10. Teorema.- Siano a e b numeri non negativi ed n un intero positivo. Allora si ha:.\[\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\]
  11. Teorema.- Se i numeri q e p (q > p) sono le soluzioni dell’equazione  \[ax^{2}+bx+c=0\] allora si ha: \[p+q=-\frac{b}{a},\, \, pq=\frac{c}{a}\]
  12. Teorema.- Se i numeri q e p (q > p) sono le soluzioni dell’equazione  \[ax^{2}+bx+c=0\] allora la disequazione  \[ax^{2}+bx+c>0\] ammette le seguenti soluzioni: x < p unione x > q.
  13. Teorema.- Dato il triangolo ABC di baricentro G(x, y), il triangolo A’B’C’, simmetrico di ABC rispetto all’asse y, ha il baricentro G’ nel punto di coordinate (-x, y).
  14. Teorema.- Se il coefficiente angolare m della retta r è zero allora la retta è parallela all’asse y.

Test 4

  1. Teorema.- Siano q e p i coefficienti angolari di due rette r ed r’: $\displaystyle r \parallel r’\Leftrightarrow q-p=0$
  2. Teorema.- Siano q e p i coefficienti angolari di due rette r ed r’: $\displaystyle r \perp r’\Leftrightarrow q\cdot p+1=0$
  3. Teorema.- Se il coefficiente angolare di una retta è zero allora la retta è parallela all’asse x.
  4. Teorema.- Se nell’equazione della parabola $\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$  risulta b = 0, allora la parabola passa per l’origine O del riferimento Oxy.
  5. Teorema.- Se la retta  r ha equazione ax + by + c = 0 allora l’equazione della retta r’ simmetrica di r rispetto all’asse x è  ax – by + c = 0.
  1. Teorema.- Se il punto V(0,p) è il vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y allora l’equazione della parabola è $\displaystyle y=x^{2}+p$
  1. Teorema.– Ogni triangolo rettangolo di ipotenusa i è tale che il seno dell’angolo opposto al cateto a è uguale al rapporto i/a.
  1. Teorema.– Ogni triangolo rettangolo di ipotenusa 2 è tale che il seno dell’angolo opposto al cateto di misura 1 è uguale al rapporto 1/2.
  2. Teorema.- In ogni triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto ad esso è uguale ad una costante. 
  1. Teorema.- Ogni funzione costante è iniettiva.
  1. Teorema.- $\displaystyle \forall x\in R$  si ha: $\displaystyle cosx=\pm \sqrt{1-sen^{2}x}$
  2. Teorema.- Se y = f(x) è una funzione algebrica definita in R, e in cui figura la x sempre e solo con esponente pari, allora la funzione f(x) è pari.
  1. Teorema.- Se y = f(x) è una funzione algebrica definita in R, e in cui figura la x sempre e solo con esponente dispari, allora la funzione f(x) è dispari.
  1. Teorema.- La composta di due funzioni dispari è una funzione dispari.
  2. Teorema.- La composta di una funzione pari ed una dispari è dispari.
  3. Teorema.- La composta di due funzioni periodiche di periodo P è una funzione periodica di periodo 2P. 
  1. Teorema.- Siano A e B due sottoinsiemi di R. Una funzione $\displaystyle f:A\rightarrow B$ iniettiva è strettamente crescente.
  1. Teorema.- Una funzione strettamente crescente nel suo dominio D non può ammettere massimo assoluto o relativo. (Analogo per il minimo).

Test 5

  1. Teorema.– Una funzione continua e strettamente crescente nel suo dominio D ammette massimo assoluto.
  2. Teorema.- Se $\displaystyle f:A\rightarrow B$ è una funzione biettiva allora anche $\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A$ è biettiva.
  3. Teorema.- Siano $\displaystyle f:A\rightarrow B$ e$\displaystyle h:B\rightarrow C$ due funzioni continue. Allora la funzione composta $\displaystyle hof:A\rightarrow C$ è continua.
  4. Teorema.- Sia y = x – 1 una funzione definita nell’intervallo chiuso [0, 2] e tale che  f(0) < 0 e f(2) > 0 . Allora esiste un punto c di ]0, 2[ tale che f(c) = 0.(teorema degli zeri).
  5. Teorema.- Una funzione è sempre crescente nel dominio. Allora il grafico della curva volge la concavità nella direzione positiva dell’asse x.
  6. Teorema.- Una funzione y = f(x) e la sua inversa hanno grafico simmetrico rispetto alla retta y = x.
  7. Teorema.- Sia f una funzione definita in R ed ivi positiva. Allora non può essere che il limite di f in un punto c di R sia zero.
  8. Teorema.- Se una funzione presenta la variabile indipendente x sempre elevata ad esponenti pari allora è una funzione pari. Ad esponente dispari è dispari.
  9. Teorema.- Una funzione è definita in $\displaystyle R-\left \{ c \right \}$ . La derivata prima della funzione si annulla in c e la derivata seconda in c è diversa da zero, allora x = c è un punto di massimo se o di minimo relativo a seconda che la derivata seconda in c sia negativo o positiva.
  10. Teorema.- Una funzione f(x)  tale che nel suo dominio ha derivata sempre nulla è costante.
  11. Teorema.- Se una funzione f(x) ammette un massimo relativo M per x = c, allora la funzione f(x)+k con k costante reale ammette massimo relativo M+k in x = c.
  12. Teorema.- Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in D aventi un massimo relativo in c allora  la funzione f(x) + g(x) ha un massimo relativo in c.
  13. Teorema.- Sia f(x)  una funzione pari. Allora se in x = c la funzione ammette un massimo relativo lo ammette anche nel punto x = – c.
  14. Teorema.- Sia f(x)  una funzione pari. Se f(x) è positiva anche f(-x) lo è.
  15. Teorema.– Sia f(x)  una funzione dispari. Se in x = c f(x) ammette un massimo relativo, in
    x = – c ammette un minimo relativo.

Test 6

  1. Teorema.- Sia f(x)  una funzione periodica di periodo ω. Allora se in x = c ammette un minimo relativo lo ammette anche in x+ω, in x+2ω, …, x+nω, con n numero naturale.
  2. Teorema.- Sia f(x) una funzione definita in R nulla in x = c. Allora se in c la funzione presenta un punto di massimo relativo esso vale zero.
  3. Teorema.- Sia f(x)  una funzione reale definita e continua nell’intervallo I = [0,1], derivabile in ]0,1[ , f(1) = f(0) = 0 e non ammette massimi relativi. Allora la funzione è non positiva in I.
  4. Teorema.- Sia f(x)  una funzione reale definita nell’intervallo I = [0,1], derivabile in ]0,1[ , f(0) = f(1) = 0 e non ammette massimi relativi. Allora la funzione è non positiva in I.
  5. Teorema.- Sia  f(x)  una funzione reale definita e continua nell’intervallo I = [0,1], derivabile in ]0,1[ e tale che f(1) = f(0) = 1. Allora la funzione ammette almeno un punto di massimo o di minimo relativo.
  6. Teorema.- Sia f(x)  una funzione reale definita e continua nell’intervallo I = [-1,1], derivabile in ]-1,1[ , tale che f(-1) =1, f(1) = -1 allora la funzione dispari.
  7. Teorema.- Sia f(x) una funzione reale definita e continua nell’intervallo I = [0,1], derivabile in ]0,1[ con f(0) = 0. Allora la funzione ammette in zero tangente verticale parallela all’asse y.
  8. Teorema.– Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in D tali che $\displaystyle f(x)-g(x)=10\pi +e^{2}$  allora le funzioni hanno uguale derivata.
  9. Teorema.- Una funzione f(x)  ammette derivata nulla in un punto x = c del suo dominio allora in c ammette o un punto di massimo relativo, o un punto di minimo relativo o un flesso.
  10. Teorema.- Una funzione f(x)  è definita in un punto x = c del suo dominio e però in x = c la derivata non esiste. Allora il punto x = c non può essere di massimo o di minimo relativo per la funzione.