6.2 – 6.3
AVVERTENZA.- Con il simbolo \[\int \frac{f(x)}{g(x)}dx\] indichiamo un integrale di una funzione fratta, ove f(x) e g(x) sono polinomi di grado n ed m rispettivamente. La teoria alla base di questo metodo si può consultare in qualsiasi testo di Analisi Matematica (video).
Per imparare rapidamente questo metodo conviene prima di tutto capire come calcolare i seguenti sei integrali \[\int \frac{1}{ax^{2}+bx+c}dx,\, \, \int \frac{mx+q}{ax^{2}+bx+c}dx\] dipendenti dal delta, $\displaystyle (\Delta)$, del trinomio di secondo grado $\displaystyle ax^{2}+bx+c$ , ovvero $\displaystyle \Delta >0$, $\displaystyle \Delta =0$ e $\displaystyle \Delta <0$ (primi 7 esercizi proposti). Chi non ha tempo a disposizione può imparare soltanto questi sei casi. Successivamente aggiungendo ulteriori semplici considerazioni si possono imparare a gestire tutti i casi.
1.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{2}-5x+6}dx\]
Risoluzione
Per calcolare l’integrale osserviamo che il polinomio al denominatore ha delta positivo e dunque si può scomporre nel seguente modo \[x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\]
Pertanto la funzione integranda si può esprimere in fratti semplici determinando due costanti reali A e B relative alle due soluzioni x = 2 e x = 3 dell’equazione \[x^{2}-5x+6=0\]
Si ha \[\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{1}{(x-2)\left ( x-3 \right )}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}\] e per determinare le costanti A e B osserviamo che
\[\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(A+B)-3A-2B}{(x-2)(x-3)}\]
e per il principio di identità dei polinomi, applicato tra la prima frazione e l’ultima, precisamente tra i numeratori di dette frazioni, deve aversi \[\left\{\begin{matrix} A+B & =0\\ -3A-2B &=1 \end{matrix}\right.\]
da cui si ricava \[A=-1,\, B=1\]. Ricordiamo che per il principio d’identità dei polinomi due polinomi dello stesso grado sono uguali se e solo abbiano uguali i coefficienti dei termini simili, oppure siano entrambi identicamente nulli.
Di conseguenza l’integrale assegnato diventa il seguente \[\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=\int \frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}dx=-\int \frac{1}{x-2}dx+\int \frac{1}{x-3}dx\] e cioè
\[\int \frac{1}{x^{2}-5x+6}dx=-ln\left [ x-2 \right ]+ln\left | x-3 \right |+c\]
Osserviamo che un integrale di questo tipo con delta positivo sarà sempre una somma algebrica di due logaritmi naturali.
Un altro esempio? Eccolo: \[\int \frac{dx}{x^{2}-7x+6}\]
Ci sei riuscito? O hai ancora dubbi? Se hai dubbi prova a vedere il video relativo all’esempio completamente svolto.
2.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{2}-4}dx\]
[ Suggerimento: Il polinomio x^2 – 4 si può scomporre in ( x-2)(x+2) e dunque l’equazione x^2 – 4 = 0 ha due soluzioni reali e distinte, caso delta > 0. Pertanto si devono determinare due costanti reale A e B tali da la funzione integranda si possa scrivere in fratti semplici…]
Risultato: \[\int \frac{1}{x^{2}-4}dx=\frac{1}{4}ln\left | x-2 \right |-\frac{1}{4}ln\left | x+2 \right |+c\]
3.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{2}+6x+9}dx\]
Risoluzione
Caso delta nullo. Infatti il trinomio x^2 + 6x + 9 ha delta = 0 e dunque il trinomio si può scomporre nel seguente modo \[x^{2}+6x+9=(x+3)(x+3)=(x+3)^{2}\] ossia l’equazione \[x^{2}+6x+9=0\] ammette due soluzioni reali e coincidenti x = -3, soluzione doppia.
Pertanto si ha la seguente decomposizione in fratti semplici:\[\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{(x+3)^{2}}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^{2}}\] con A e B due costanti reali da determinare.
Per determinare le costanti A e B consideriamo l’identità \[\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x+3)^{2}}=\frac{A(x+3)+B}{(x+3)^{2}}=\frac{Ax+B+3}{(x+3)^{2}}\]
da cui per il principio di identità dei polinomi deduciamo: \[\left\{\begin{matrix} A &=0 \\ B+3& =1 \end{matrix}\right.\] ossia A = 0 e B = -2. Pertanto si ha la seguente identità \[\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}\] e dunque l’integrale assegnato diventa \[\int \frac{1}{x^{2}+6x+9}dx=\int \frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}dx=\int \left ( x+3 \right )^{-2}dx=\frac{\left ( x+3 \right )^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{x+3}+c\]
Notiamo che si poteva stabilire l’identità \[\frac{1}{x^{2}+6x+9}=\frac{1}{(x+3)^{2}}\]
tenendo conto del fatto che il trinomio x^2+6x+9 è lo sviluppo del quadrato del binomio ossia \[{x^{2}+6x+9}= {\left ( x+3 \right )^{2}}\] e dunque calcolare l’integrale senza stabilire le costanti A e B con la decomposizione in fratti semplici.
Hai capito come fare? Ne sono sicuro e per deliziarti … prova a risolvere i seguenti tre integrali dello steso tipo \[\int \frac{dx}{x^{2}+4x+4},\int \frac{dx}{x^{2}-2x+1},\int \frac{1}{25x^{2}-30x+9}dx\]
Suggerimento: scomponi in fattori i trinomi come quadrati di binomi e procedi all’integrazione…
4.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{2}+x+3}dx\]
Caso delta negativo. Questo caso è un po’ più complesso. Vuoi vedere un video teorico? Vai…
Essendo un caso più complesso, come ti dicevo, prova a calcolare il seguente integrale:
\[\int \frac{dx}{2x^{2}+3x+4}\]
Dovresti riuscirci, altrimenti consulta il seguente video.
Visto che ci provi gusto ti delizio con questi ulteriori integrali \[\int \frac{dx}{x^{2}+3x+8},\int \frac{dx}{x^{2}-x+5},\int \frac{1}{x^{2}+4x+7}dx\]
sempre con il delta < 0. Dai risolvili e poi va a farti una bella birra!
5.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{2x+5}{x^{2}+4x+3}dx\]
Semplicissimo vero? Una sorta di copia incolla del caso delta positivo. Hai afferrato al volo? Giusto? Come no? No???? Allora vedi il seguente video.
6.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{3x+1}{x^{2}+4x+4}dx\]
Semplicissimo vero? Una sorta di copia incolla del caso delta = 0. Hai afferrato al volo? Giusto? Come no? No????
7.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx\]
Semplicissimo vero? come il caso delta negativo? Si e No, non tanto, questa volta ti devo dar ragione se ti sei bloccato…devo spiegarti qualche dettaglio in più! Se ti sei bloccato è normale…
Risoluzione
In questo caso devi sapere che la funzione integranda la devi riscrivere nel seguente modo \[\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=A\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+B\frac{1}{x^{2}+x+2}\]
con A e B due costanti reali da calcolare. Pertanto l’integrale dato diventa: \[\int \frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx=A\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx+B\int \frac{1}{x^{2}+x+2}dx\] ove il primo integrale al secondo membro è immediato essendo il numeratore la derivata del denominatore e il secondo è il caso con delta negativo analizzato nei primi tre esempi proposti: \[\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx=ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |+c_{1},\int \frac{1}{x^{2}+x+2}dx=\frac{2}{\sqrt{7}}arctan\left ( \frac{2x+1}{\sqrt{7}} \right )+c_{2}\]
Dunque dobbiamo solo calcolare le costanti A e B. Si possono calcolare con i seguenti passaggi: \[\frac{5x+1}{x^{2}+x+2} =\frac{5(x+\frac{1}{5})}{x^{2}+x+2}=5\frac{x+\frac{1}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2\left ( x+ \frac{1}{5}\right )}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+\frac{2}{5} }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+\frac{2}{5}+1-1 }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1+(\frac{2}{5}-1) }{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1-\frac{3}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+\frac{5}{2}\cdot \frac{\frac{-3}{5}}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}\] con A = 5/2 e B = -3/2 il che si capisce confrontando l’uguaglianza \[\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=A\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}+B\frac{1}{x^{2}+x+2}\] con \[\frac{5x+1}{x^{2}+x+2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}\]
In definitiva l’integrale assegnato vale \[\int \frac{5x+1}{x^{2}+x+2}dx =\int \frac{5}{2}\cdot \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}dx-\int \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{2}+x+2}dx=\frac{5}{2}\cdot ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |-\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{7}}arctan\frac{2x+1}{\sqrt{7}}+c=\frac{5}{2}\cdot ln\left | \frac{2x+1}{x^{2}+x+2} \right |-\frac{3}{\sqrt{7}}arctan\frac{2x+1}{\sqrt{7}}+c\]
Riassumendo, per svolgere i sei integrali suddetti bisogna saper scrivere in fratti semplici la funzione integranda, il che avviene in base al delta del trinomio di secondo grado che figura al denominatore così:
\[\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}\rightarrow se\, \Delta >0\rightarrow \frac{1}{a}\cdot \frac{A}{x-x_{1}}+\frac{1}{a}\cdot \frac{B}{x-x_{1}}\rightarrow\]
con \[x_{1}, x_{2}\] soluzioni dell’equazione \[ax^{2}+bx+c=0\]
ossia \[ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x+x_{2} \right ), \, \, \, se\, \, \Delta >0\]
e dunque si ha che l’integrale dato vale:
\[\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}= \frac{1}{a}\cdot\int \frac{A}{x-x_{1}}dx+\frac{1}{a}\cdot\int \frac{B}{x-x_{1}}dx+c =…\]
Se invece il delta è nullo si ha: \[\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}=\int \frac{dx}{a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}=\frac{1}{a}\int \left ( x-x_{1} \right )^{-2}dx=…;se\, \Delta =0\] con \[x_{1}=x_{2}\] soluzione doppia dell’equazione \[ax^{2}+bx+c=0\, \, e\, \, ax^{2}+bx+c=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}\]
Se invece il delta è negativo si ha: \[\int \frac{dx}{ax^{2}+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{-\Delta }}\cdot arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+c\]
Analogamente si procede per gli altri tre casi, si tenga presente quanto mostrato negli esempi.
AVVERTENZA 1.- Calcoliamo il seguente integrale \[\int\frac{x^{3}+3x^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}dx\]
Notiamo che a differenza di tutti gli altri esempi in questo caso il numeratore è un polinomio di grado 3 maggiore del grado 2 del denominatore. In questi casi bisogna prima di tutto eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore con l’ordinaria divisione tra polinomi (Vedi Video ) e si ha come quoziente Q(x) e resto R(x): \[Q(x)=x+6,\, \, \, R(x)=17x-12\]
Di conseguenza la funzione integranda si può scrivere nel seguente modo \[\frac{x^{3}+3x^{2}++x+1}{x-3x+2}=(x+6)+\frac{17x-12}{x^{2}-3x+2}\] e l’integrale dato si decompone nei seguenti due
\[\int \frac{x^{3}+3x^{2}+x+1}{x^{2}-3x+2}dx=\int (x+6)dx+\int \frac{17x-12}{x^{2}-3x+2}dx\]
e si rientra nei casi già esaminati (nell’esempio è delta positivo). Osserviamo che quanto detto in questo esempio è valido sempre, ovvero ogni qualvolta che il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore bisogna eseguire prima la divisione tra numeratore e denominatore e dunque ricondursi ai casi precedenti. Vedremo qualche altro esempio più giù.
Avvertenza 2.- A questo punto ti devi fermare un attimo e riflettere su quanto abbiamo fatto per risolvere i sei integrali assegnati. Se non hai tempo per studiare ulteriormente e dunque completare il metodo è forse il caso di fermarti qui, perché nei corsi universitari di matematica, escludendo le facoltà di Matematica, Fisica e Ingegneria, gli integrali assegnati di questo tipo sono, con buona probabilità, più o meno come questi analizzati.
Certamente ti conviene sempre verificare studiando le prove di esame.
Se invece vuoi completare il metodo devi svolgere gli esempi seguenti e sicuramente devo aggiungere qualche ulteriore piccola spiegazione. Buon lavoro!
8.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}dx\]
Risoluzione
Il punto fondamentale è capire come sono le soluzioni dell’equazione \[x^{3}+2x^{2}-5x-6=0\] Pertanto risolvendo l’equazione suddetta utilizzando la Regola di Ruffini si vede che sue le soluzioni sono \[x=-1,x=2,x=-3\] soluzioni reali e distinte, siamo dunque in un caso analogo a quello già visto con delta positivo. Tenuto conto che \[x^{3}+2x^{2}-5x-6=(x+1)(x-2)(x+3)\], procedendo con la decomposizione in fratti semplici della funzione integranda, si capisce che bisogna determinare tre costanti reali A, B, C, una per ogni soluzione reali dell’equazione suddetta. Si ha:
\[\frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}=\frac{1}{(x+1)(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3}=…\]
Determinate le tre costanti A = -1/6, B = 1/15, C= 1/10, risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} A+B+C &=0 \\ A+4B-C &=0 \\ -6A+3B-2C & =1 \end{matrix}\right.\]
si vede che l’integrale è la somma algebrica di tre logaritmi natuali: \[\int \frac{1}{x^{3}+2x^{2}-5x-6}dx=-\frac{1}{6}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{15}\int \frac{dx}{x-2}+\frac{1}{10}\int \frac{dx}{x+3}=-\frac{1}{6}ln\left | x+1 \right |+\frac{1}{15}ln\left | x-2 \right |+\frac{1}{10}ln\left | x+3 \right |+c\]
Calcola i seguenti integrali dello stesso tipo del numero 8, cioè avente al denominatore un polinomio con tutte radici (soluzioni) reali semplici (tutte distinte tra loro): \[\int \frac{1}{(x-3)(x-1)(x+5)}dx,\, \, \int \frac{1}{x^{3}-7x+6}dx,\, \, \int \frac{1}{x^{4}+x^{3}-11x^{2}-9x+18}dx,\]
\[\int \frac{x^{2} +x}{x^{3}-4x^{2}-19x-14}dx,\, \, \int \frac{x^{4}}{-x^{3}+6x^{2}-11x+6}dx,\, \, \int \frac{x^{3}}{6x^{3}-7x^{2}-x+2}dx,\]
9.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int \frac{dx}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}\]
Risoluzione
Il punto fondamentale è capire come sono le soluzioni dell’equazione: \[x^{3}+4x^{2}-3x-18=0\]
Pertanto risolvendo tale equazione si vede che le soluzioni sono reali, ma una semplice e un’altra multipla di molteplicità 2:
x = 2 reale e semplice
x = – 3 reale e multipla di molteplicità 2
Tenuto conto che \[x^{3}+4x^{2}-3x-18=(x-2)(x+3)^{2}\], procedendo con la decomposizione in fratti semplici della funzione integranda, si capisce che bisogna determinare tre costanti reali A, B, C tali che \[\frac{1}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}=\frac{1}{(x-2)(x+3)^{2}}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3)^{2}}\] e dunque l’integale assegnato diventa: \[\int \frac{1}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}dx=\int \frac{A}{x-2}dx+\int \frac{B}{x+3}dx+\int \frac{C}{(x+3)^{2}}dx\]
Calcolate dunque le costanti A, B e C risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} A+B &=0 \\ 6A+B+C &=0 \\ 9A-6B-2C &=1 \end{matrix}\right.\] si ha A = 1/25, B = -1/25, C = -1/5 e quindi \[\int \frac{dx}{x^{3}+4x^{2}-3x-18}=\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x-2}-\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x+3}-\frac{1}{5}\int \frac{dx}{(x+3)^{2}}=\frac{1}{25}ln\left | x-2 \right |-\frac{1}{25}ln\left | x+3 \right |+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{x+3}+c\]
Calcolare i seguenti integrali dello stesso tipo del numero 9: \[\int \frac{dx}{\left ( x+3 \right )\left ( x+6 \right )\left ( x+1 \right )^{2}},\, \, \int \frac{-2x^{2}+3}{x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12+4}dx,\int \frac{x^{5}}{(x+2)(x-1)(x-2)^{2}}dx\]
10.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{x^{2}}{(x^{2}-1)(x+2)}dx\],
Sugg. Tutte le radici del polinomio che figura al denominatore sono reali e distinte, quindi è un integrale del tipo 8. Continua…dai che riuscirai sicuramente a farlo…
11.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{x}{x^{3}+1}dx\]
Risoluzione
Siamo in un nuovo caso, il terzo! Tenuto conto che \[x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\] si capisce che l’equazione \[x^{3}+1=0\rightarrow (x+1)(x^{2}-x+1)=0\] ammette una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate \[x_{1}=-1,\, \, x_{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},\, x_{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\] ovvero le radici sono reali o complesse ma semplici (non multiple, e questo sarà il quarto caso, lo vedremo dopo)
Quindi bisogna ricercare tre costanti reali A, B, C in modo che la funzione integranda si decomponga in fratti semplici nel seguente modo \[\frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1}\] Notiamo che in questo terzo caso al trinomio di secondo grado a delta negativo, ovvero con le radici complesse coniguate, si associano due costanti nella forma di un binomio di primo grado Bx + C.
Calcoliamo le costanti risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} A+B & =0\\ B+C-A & =0\\ A+C & =1 \end{matrix}\right.\] e si ha A= 1/3, B = -1/3, C = 2\3. Di conseguenza la funzione integranda si scrive nel seguente modo: \[\frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}\] e l’integrale asseganto si calcola così: \[\int \frac{dx}{x^{3}+1}=\int \frac{1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}dx=\int \frac{\frac{1}{3}}{x+1}dx+\int \frac{-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}{x^{2}-x+1}dx\]…
Calcolare il seguente integrale dello stesso tipo:\[\int\frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx\]
Prima di tutto bisogna eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore, visto che il numeratore è di grado maggiore del denominatore, e si ha come quoziente Q(x) e resto R(x): \[Q(x)=x+1,\, R(x) =2\]
Pertanto l’integrale dato diventa: \[\int \frac{x^{4}+1}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx=\int (x+1)dx+\int \frac{2}{x^{3}-x^{2}+x-1}dx\]
e il secondo è del tipo precedente, integrale 11. Continua da solo… puoi farcela
12.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int \frac{1}{(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+1)^{2}}dx\]
Risoluzione
Si tratta del quarto caso, ovvero il denominatore contiene un fattore di secondo grado a radici complesse multiple. Se non lo devi necessiamente studiare puoi anche saltarlo. In questo caso bisogna trovare 7 costanti reali in modo che la funzione integranda si scriva in fratti semplici: \[\frac{1}{(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^{2}}+\frac{Dx+E}{x^{2}+1}+\frac{Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}\] e calcolate le 7 costanti reali sembrerebbe tutto facile come prima. Purtroppo non è così, precisamente il quarto integrale, cioè quello relativo alla frazione \[\frac{Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}\] si calcola per parti o per sostituzione, ma sicuramente dovrei aggiungere qualche nuova osservazione e che potrai leggere nella seguente pagina. Se non necessario, ripeto, puoi tralsciare questo quarto caso.
Calcolare anche il seguente integrale:\[\int\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}(x^{2}+x+1)}dx\]
E’ più semplice del precedente perchè al denominatore non ci sono fattori di secondo grado a radici complesse multiple, vi è solo un trinomio di secondo grado a radici complesse, e un fattore di secondo grado a radici reali doppie. Quindi si ha la seguente decomposizione in fratti semplici: \[\frac{2x^{2}+x+1}{x^{2}\left ( x^{2}+x+1 \right )}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}\]
con A, B, C, D costanti reali da calcolare.
Nei prossimi esempi non ho inserito esercizi ricadenti nel quarto caso, ad eccezione del numero 18, se ne vuoi vedere qualcuno potrai farlo qui
13.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{4}+1}dx\]
Bisogna scomporre il denominatore. Si ha: \[x^{4}+1=\left ( x^{2}+x\sqrt{2}+1 \right )\left ( x^{2}-x\sqrt{2}+1 \right )\]
quindi… continua da solo…
14.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{4}-1}dx\]
Scomponi… è semplice…
15.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{4}-7x^{2}+12}dx\]
Si ha: \[x^{4}-7x^{2}+12=\left ( x^{2}-4 \right )\left ( x^{2}-3 \right )=…\]
16.- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{x^{3}+2xx-3}dx\]
Si ha: \[x^{3}+2x-3=\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x+3 \right )\]
17.- Calcolare i seguenti integrali di una funzione razionale: \[\int\frac{1}{(x^{2}+1)\left ( x^{2}-4 \right )}dx\] \[\int \frac{x^{5}+2x+1}{\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-2x+1 \right )}dx\]
18- Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale:\[\int\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}dx\]
Per calcolare tale integrale vedere qui
Per vedere alcuni esercizi svolti puoi consultare il mio canale Youtube