Puoi esercitarti tra 62 funzioni
0.- Calcolare il dominio della seguente funzioni: \[y=\frac{4x^{2}-5}{x^{3}+3x^{2}+3x-1},\, y=\frac{1}{4x^{4}-5x^{2}+1}\]
Risoluzione
Il dominio della prima funzione si ottiene richiedendo che il denominatore non sia zero: \[x^{3}+3x^{2}+3x-1\neq 0\Rightarrow x^{3}+3x^{2}+3x-1+1-1\neq 0\Rightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1\neq 2\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{3}\neq 2\Rightarrow x+1\neq \sqrt[3]{2}\Rightarrow x\neq -1+\sqrt[3]{2}\] e quindi è l’insieme \[D=R-\left \{ -1+\sqrt[3]{2}\right \}\]
Per calcolare il dominio della seconda funzione bisogna richiedere che \[4x^{4}-5x^{2}+1\neq 0\] e quindi il dominio è \[D= R-\left \{ -1,+1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right \}\]
1.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=ln\left ( \frac{1+log_{\frac{1}{2}}x}{x^{2}+3} \right )+\sqrt{\left | x-4 \right |}\]
Risoluzione
Per calcolare il dominio D della funzione occorre risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 1+log_{\frac{1}{2}}x &>0 \\ x& >0 \end{matrix}\right.\]
La prima disequazione del sistema è risolta nel seguente modo\[log_{\frac{1}{2}}x>-1\Rightarrow log_{\frac{1}{2}}x>log_{\frac{1}{2}}2\Rightarrow x<2\] e quindi il dominio è \[D=\left ( 0,2 \right )\]
2.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni \[f(x)=ln\left ( e^{x^{2}}-e \right )+\left ( x+4 \right )^{4x}+\sqrt{arctan\left ( 2-x \right )}\]
\[f(x)=\sqrt{lnx-\sqrt{1-ln^{2}x}}\]
\[f(x)=\left ( \frac{\left ( \frac{1}{3} \right )^{x+1}-9}{log_{3}\, x-2} \right )^{\frac{1}{6}}\]
Risoluzione
Il dominio D della prima funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} e^{x^{2}}-e &>0 \\ x+4 &>0 \\ arctan(2-x) & \geq 0 \end{matrix}\right.\]
Risolto tale sistema si vede che il dominio è l’insieme\[D=\left ( -4,-1 \right )\cup (1,2]\]
Il dominio della seconda funzione è \[D=\left [ 1,e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right ]\]
Il dominio della terza funzione è:\[D=\left ( 0,9 \right )\]
3.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left ( \left | 2x+3 \right | \right )^{-\sqrt{2}}+\sqrt{x^{2}-3x+2}\]
4.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{5}}(x^{2})-log_{\frac{1}{5}}(x+6)}\]
Risoluzione
Il dominio D della funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema
\[\left\{\begin{matrix} log_{\frac{1}{5}}x^{2}-log_{\frac{1}{5}}(x+6) &\geq 0 \\ x^{2} &>0 \\ x+6& >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme\[\left ( -6,-2 \right )\cup \left ( 3,+\infty \right )\]
5.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{7}}x^{2}-log_{\frac{1}{7}}(x+6)}+\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{senx}\]
6.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left ( \frac{x-2}{x} \right )^{\sqrt{2}}-e^{\frac{x}{x-3}}\]
7.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left [ log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}+1 \right )+1 \right ]^{\pi }\]
8.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\frac{ln\left | x^{2}-1 \right |}{\sqrt{x^{2}+3x}}\]
9.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}+x \right )-log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}-5 \right )}}\]
10.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{ln\left ( x-1\right )-2}-\frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}-2x+1}}\]
11.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=ln\left ( \frac{x^{2}+x+3}{x^{2}-4} \right )+ln\left ( x+3 \right )\]
12.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=2\left | x \right |+log_{\frac{2}{3}}\left | x-1 \right |-\sqrt[6]{\frac{log_{2}\left ( x+4 \right )-1}{x}}\]
13.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4x}{1-x^{2}}}+\sqrt{x+1}\]
14.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left [ log_{2}\left ( x^{2}-1 \right ) \right ]^{e}\]
15.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{\frac{ln\left ( x-1 \right )}{ln(x+1)}}-\frac{1}{x^{2}-16}\]
16.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}x^{2}-log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(9)}+\left ( x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{arcsenx}\]
17.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=arcsen\left ( ln\left ( x^{2}-3 \right ) \right )+\left ( arctan^{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{arccos\, x}\]
18.- Calcolare il dominio della seguente funzione: \[f(x)=(x+1)^{log_{4}x}\]
Risoluzione
Il dominio D della funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} x+1 & >0\\ x>& 0 \end{matrix}\right.\]
ed è l’intervallo illimitato \[D=\left ( 0,+\infty \right )\]
Nell’insieme D di definizione per la funzione vale seguente identità: \[\left ( x+1 \right )^{log_{4}x}=e^{log_{4}x\cdot ln\left ( x+1 \right )}\]
AVVERTENZA.- Notiamo che in generale il dominio della funzione f(x) dell’esercizio 18 si ottiene risolvendo i seguenti sistemi \[\left\{\begin{matrix} x+1 &>0 \\ log_{4}x & \in R \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x+1 &=0 \\ log_{4}x& >0 \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x+1 &<0 \\ log_{4}x& \in Q_{d} \end{matrix}\right.\] con x > 0 e \[Q_{d}=\left \{ x=\frac{m}{n} \in Q,con\, \, n\, \, dispari\right \}\] e in questo esempio il dominio rimane ancora l’intervallo \[D=\left ( 0,+\infty \right )\] ma in altri casi potrebbe essere diverso da D. Ad esempio la funzione \[f(x)=\left ( x-2 \right )^{x}\] è definita per \[\left\{\begin{matrix} x-2 &>0 \\ x\in R & \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x-2 &=0 \\ x>0 & \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x-2 &<0 \\ x\in Q_{d} & \end{matrix}\right.\] ed ammette come dominio \[D=\left ( 2,+\infty \right )\cup \left \{ 2 \right \}\cup \left ( (-\infty ,2)\cap Q_{d} \right )\]
mentre se ci si limita solo al primo sistema si ottiene \[\left ( 2,+\infty \right )\]
Analogo ragionamento vale per ogni funzione del tipo \[y=f(x)^{g(x)}\] ma per mantenere la validità dell’identità \[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}\]
si assume solo che sia f(x) > 0 per il calcolo del dominio di tale funzione composta.
19.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[f(x)=(x)^{arcsen\, x}\]
\[y=\left ( x^{2}+6x+5 \right )^{\sqrt{4-x^{2}}}\]
20.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=(senx)^{tan\, x}\]
\[f(x)=(senx)^{x}\]
\[f(x)=\left ( arcsen\frac{1}{x} \right )^{x}\]
21.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=\left ( arctan\, ln\left ( 1-3^{-\sqrt{x}} \right ) \right )\]
\[f(x)=\sqrt[6]{ln\, cosx}\]
\[f(x)=ln\, sen\, cos(x+2)\]
\[f(x)=arcsen\, ln\frac{x}{10},\, \, f(x)=\sqrt[4]{log_{2}(x+2)}\]
Risoluzione
Il dominio della funzione \[y=arctan\, ln\left ( 1-3^{-\sqrt{x}} \right )\] si determina risolvendo il sistema: \[\left\{\begin{matrix} 1-3^{-\sqrt{x}} &>0\\ x& \geq 0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=[0,+\infty [\]
Il dominio della funzione \[y=arcsen\left ( ln\frac{x}{10} \right )\]
si ottiene risolvendo il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} ln\left ( \frac{x}{10} \right ) &\leq 1 \\ ln\left ( \frac{x}{10} \right ) &\geq -1 \\ x& >0 \end{matrix}\right.\]
ed è l’intervallo chiuso \[\left [ \frac{10}{e},10e \right ]\]
22.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=arc\, cos\frac{2x}{x+1}\]
\[f(x)=\frac{x}{\left | ln\, x+1 \right |-1}\]
\[f(x)=\sqrt{ln\left ( \frac{sen^{2}x}{1-2cosx} \right )}\]
\[y=log_{(x-1)}(x^{2}+3x+2)\]
\[y=log_{arctan\, x}\left ( e^{2x}-5e^{x}+6 \right )\]
23.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[y=log_{(2x-1)}\left ( x^{2} -4\right )\]
\[y=log_{(ln\, x-1)}\left ( e^{x} -5\right )\]
\[y=log_{(e^{x}-7)}\left ( log_{3}(2x-7) \right )\]
Risoluzione
Il dominio della prima funzione si ottiene risolvendo il sistema: \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-4 & >0\\ 2x-1 &\neq 1 \\ 2x-1 & >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( 2,+\infty \right )\]
Il dominio della seconda funzione si ottiene risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} e^{x}-5 &>0 \\ ln\, x-1 &>0 \\ ln\, x-1 & \neq 1\\ x & >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( e,+\infty \right )\]
Il dominio della terza funzione si ottiene dal sistema. \[\left\{\begin{matrix} e^{x}-7 &>0 \\ log_{3}(2x-7)& >0\\ 2x-7& >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( 4,+\infty \right )\]
24.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[y=\sqrt{4+\left | x^{2}-1 \right |}\]
\[y=\frac{2x-7}{\sqrt{1-\left | \frac{1-x}{x} \right |}}\]
\[y=\sqrt{\left | x \right |}-arcsen\frac{x-1}{\left | x \right |+1}\]
\[y=\frac{x+2}{\left | lnx+1 \right |+1}\]
\[y=\left | artanx \right |^{\sqrt{x^{2}-1}}-ln\left | x^{2}-1 \right |\]
25.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni iperboliche:
\[y=senh\sqrt{7-x^{2}},y=cosh\left ( \frac{1-senx}{\sqrt{1-x^{2}}} \right )\]
\[y=tanh\left ( log_{3}\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right )\]
\[y=arcsenh\left ( \frac{tanh^{2}x-1}{coshx+1} \right )\]
\[y=arccosh\left ( \frac{x^{2}-1}{x3} \right )\]
\[y=arctanh\left ( \sqrt{x-1}-x \right )\]
\[y=arccoth\left ( \frac{x+2}{x-3} \right )\]
\[y=\left ( \frac{3x}{x-1} \right )^{senh\, x}\]
\[y=senh\sqrt{log_{2}(x^{2}-1)}\]
\[y=arcsenh\frac{x}{\left | x \right |-x+3}\]
\[y=arctanh\sqrt{\frac{2+e^{x}}{e^{x}-2}}\]
\[y=cosh\left ( ln\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} \right )\]
\[y =tanh\, \frac{ln(x+2)}{\sqrt{x-3}}\]
Nota.- Ricordiamo che: arcsenh x = asenh x = sett senh x, arccosh x = acosh x = settcosh x,
arctanh x = atanh x = setttanh x
AVVERTENZA.- Le funzioni iperboliche elementari hanno il seguente dominio D:
\[y=senh x\rightarrow D= R,\, \, \, y = cosh x\rightarrow D =R\]
\[y=tanh x\rightarrow D= R,\, \, \, y = coth x\rightarrow D =R-\left \{ 0 \right \}\]
\[y=asenh x\rightarrow D= R,\, \, \, y=acosh x\rightarrow D=\left \{ x\in R:x\geq 1 \right \}\]
\[y=atanh x\rightarrow D= \left ( -1,1 \right ),\, \, \, y=acosh x\rightarrow D=\left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )\]
Per calcolarore il dominio della funzione \[y=senh\sqrt{7-x^{2}}\] bisogna richiedere solo che il radicando sia non negativo: \[7-x^{2}\geq 0\Rightarrow -\sqrt{7}\leq x\leq \sqrt{7}\rightarrow D=\left [ -\sqrt{7},\sqrt{7} \right ]\]
Per calcolare il dominio della funzione \[y=tanh\left ( log_{3}\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right )\] bisogna risolvere il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-\frac{1}{x}} &>0 \\ 1-\frac{1}{x} & \geq 0\\ x& \neq 0 \end{matrix}\right. \, \, \, \Rightarrow \, \, 1-\frac{1}{x}>0\Rightarrow \frac{x-1}{x}>0\]
Quindi il domnio D è: \[D=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )\]
26.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[y=\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\left ( arctan\frac{x-\pi }{x-4} \right )}\]
\[y=\sqrt{\frac{\left | tanx \right |-\left | senx \right |}{x-e\cdot lnx}}\]
\[y=arcsen\sqrt{1-log^{2}_{2}\, senx}\]
\[y=\sqrt{arccos\, log_{2}\left ( sen\: e^{x} \right )-\frac{2\pi }{3}}\]
\[y=\sqrt{log_{3}\left ( \sqrt{x^{2}-1} -3x+4\right )+log_{\frac{1}{9}}\left ( x^{2}+2x+1 \right )}\]
\[y =\frac{\sqrt{\frac{1}{2}-log_{3}\left ( \frac{1}{2}tanx+senx \right )}+\sqrt{\pi ^{2}-4x^{2}}}{arcsen\left ( \sqrt{x^{2}-x}-\left | x \right | \right )}\]
27.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[f(x)= arctan\left ( \frac{x}{\left | x+2 \right |} \right )+ln\left ( 2+e^{\left | x+2 \right |+x} \right )\]
\[f(x)=\left ( ln \sqrt[3]{x^{2}}\right )^{\left ( \frac{2^{x}}{\sqrt{-2+3x-x^{2}}} \right )}+\sqrt{-1+2senx}\]
\[f(x)=ln\left ( arcsen\sqrt{x+1}-x \right )\]
\[f(x)=\sqrt{\left ( \frac{x-1}{x} \right )^{2}-\left ( \frac{x}{x-1} \right )^{2}}\cdot ln(x-6)\]
\[ f(x)=ln\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-4} -\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{5}{x}}\right]\]
\[f(x)=\sqrt[4]{senln\left ( e^{x}-1 \right )}\]
\[f(x)=\frac{\sqrt{\frac{1}{2}-log_{2}x}}{\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\sqrt{\left | x-1 \right )}}}\]
\[f(x)=ln\left ( 6arcsen\frac{x}{x-1}-\pi \right )\]
\[f(x)=lnlog_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-1 \right )\]
Come calcolare il dominio di una funzione? Clicca qui
28.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni:
\[f(x)=\frac{log_{\frac{1}{2}}\left ( tan^{2}x-3 \right )}{sen^{2}x-1}+\sqrt[4]{cos\, \, x}\]
\[f(x)=\frac{\sqrt{arcsen\left ( 3^{x} -2\right )}}{ln\left ( 3^{x}+2 \right )}\]
\[f(x)=\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}-6x+9}-x+3}}{ln\left ( x^{3} \right )}\]
Risoluzione
La prima funzione ha per dominio l’insieme che risolve il sistema seguente:
\[\left\{\begin{matrix} tan^{2}x -3 &> 0 \\ cos\, x&\neq 0 \\ sen^{2}x-1 & \neq 0\\ cos\, x&\geq 0 \\ \end{matrix}\right.\]
cioè \[D:\frac{\pi }{3}+2k\pi <x<\frac{\pi }{2}+2k\pi,\, \frac{x}{\pi }+\frac{1}{2}\notin Z,k\in Z\, \, \, o\, \, \, \, \frac{-\pi }{2}+2k\pi <x<-\frac{\pi }{3}+2k\pi,\, \frac{x}{\pi }+\frac{1}{2}\notin Z,k\in Z\]
La seconda funzione ha dominio \[D=\left [ log_{3}2\, ,\, \, 1 \right ]\] il che si vede risolvendo il sistema:
\[\left\{\begin{matrix} arcsen\left ( 3^{x} -2\right ) &\geq 0 \\ -1\leq 3^{x}-2\leq 1 & \\ ln\left ( 3^{x} +2\right )&\neq 0 \\ 3^{x}+2 & > 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} arcsen\left ( 3^{x} -2\right ) &\geq 0 \\ -1\leq 3^{x}-2\leq 1 & \\ ln\left ( 3^{x} +2\right )&\neq 0 \\ \end{matrix}\right.\]
La terza funzione ha dominio \[D=\left ( 0,+\infty \right )-\left \{ 1 \right \}\]