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Dominio di funzioni per l’università

Calcolare il dominio delle seguenti funzioni (esercizi di livello universitario). Se hai bisogno di cominciare con esercizi di base (42) per il calcolo del domionio clicca qui.
Puoi esercitarti tra 62 funzioni

0.- Calcolare il dominio della seguente funzioni: \[y=\frac{4x^{2}-5}{x^{3}+3x^{2}+3x-1},\, y=\frac{1}{4x^{4}-5x^{2}+1}\]

Risoluzione

Il dominio della prima funzione si ottiene richiedendo che il denominatore non sia zero: \[x^{3}+3x^{2}+3x-1\neq 0\Rightarrow x^{3}+3x^{2}+3x-1+1-1\neq 0\Rightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1\neq 2\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{3}\neq 2\Rightarrow x+1\neq \sqrt[3]{2}\Rightarrow x\neq -1+\sqrt[3]{2}\] e quindi è l’insieme \[D=R-\left \{ -1+\sqrt[3]{2}\right \}\]

Per calcolare il dominio della seconda funzione bisogna richiedere che \[4x^{4}-5x^{2}+1\neq 0\] e quindi il dominio è \[D= R-\left \{ -1,+1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right \}\]

1.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=ln\left ( \frac{1+log_{\frac{1}{2}}x}{x^{2}+3} \right )+\sqrt{\left | x-4 \right |}\]

Risoluzione

Per calcolare il dominio D della funzione occorre risolvere il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} 1+log_{\frac{1}{2}}x &>0 \\ x& >0 \end{matrix}\right.\]
La prima disequazione del sistema è risolta nel seguente modo\[log_{\frac{1}{2}}x>-1\Rightarrow log_{\frac{1}{2}}x>log_{\frac{1}{2}}2\Rightarrow x<2\] e quindi il dominio è \[D=\left ( 0,2 \right )\]

2.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni \[f(x)=ln\left ( e^{x^{2}}-e \right )+\left ( x+4 \right )^{4x}+\sqrt{arctan\left ( 2-x \right )}\]

\[f(x)=\sqrt{lnx-\sqrt{1-ln^{2}x}}\]

\[f(x)=\left ( \frac{\left ( \frac{1}{3} \right )^{x+1}-9}{log_{3}\, x-2} \right )^{\frac{1}{6}}\]

Risoluzione

Il dominio D della prima funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema \[\left\{\begin{matrix} e^{x^{2}}-e &>0 \\ x+4 &>0 \\ arctan(2-x) & \geq 0 \end{matrix}\right.\]
Risolto tale sistema si vede che il dominio è l’insieme\[D=\left ( -4,-1 \right )\cup (1,2]\]

Il dominio della seconda funzione è \[D=\left [ 1,e^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \right ]\]

Il dominio della terza funzione è:\[D=\left ( 0,9 \right )\]

3.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left ( \left | 2x+3 \right | \right )^{-\sqrt{2}}+\sqrt{x^{2}-3x+2}\]

4.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{5}}(x^{2})-log_{\frac{1}{5}}(x+6)}\]

Risoluzione

Il dominio D della funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema

\[\left\{\begin{matrix} log_{\frac{1}{5}}x^{2}-log_{\frac{1}{5}}(x+6) &\geq 0 \\ x^{2} &>0 \\ x+6& >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme\[\left ( -6,-2 \right )\cup \left ( 3,+\infty \right )\]

5.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{7}}x^{2}-log_{\frac{1}{7}}(x+6)}+\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{senx}\]

6.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left ( \frac{x-2}{x} \right )^{\sqrt{2}}-e^{\frac{x}{x-3}}\]

7.-  Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left [ log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}+1 \right )+1 \right ]^{\pi }\]

8.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\frac{ln\left | x^{2}-1 \right |}{\sqrt{x^{2}+3x}}\]

9.-  Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}+x \right )-log_{\frac{1}{2}}\left ( x^{2}-5 \right )}}\]

10.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{ln\left ( x-1\right )-2}-\frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}-2x+1}}\]

11.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=ln\left ( \frac{x^{2}+x+3}{x^{2}-4} \right )+ln\left ( x+3 \right )\]

12.-  Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=2\left | x \right |+log_{\frac{2}{3}}\left | x-1 \right |-\sqrt[6]{\frac{log_{2}\left ( x+4 \right )-1}{x}}\]

13.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-4x}{1-x^{2}}}+\sqrt{x+1}\]

14.- Calcolare il dominio della seguente funzione\[f(x)=\left [ log_{2}\left ( x^{2}-1 \right ) \right ]^{e}\]

15.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{\frac{ln\left ( x-1 \right )}{ln(x+1)}}-\frac{1}{x^{2}-16}\]

16.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=\sqrt{log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}x^{2}-log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(9)}+\left ( x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{arcsenx}\]

17.- Calcolare il dominio della seguente funzione \[f(x)=arcsen\left ( ln\left ( x^{2}-3 \right ) \right )+\left ( arctan^{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{arccos\, x}\]

18.- Calcolare il dominio della seguente funzione: \[f(x)=(x+1)^{log_{4}x}\]

Risoluzione

Il dominio D della funzione si ottiene risolvendo il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} x+1 & >0\\ x>& 0 \end{matrix}\right.\]

ed è l’intervallo illimitato \[D=\left ( 0,+\infty \right )\]
Nell’insieme D di definizione per la funzione vale seguente identità: \[\left ( x+1 \right )^{log_{4}x}=e^{log_{4}x\cdot ln\left ( x+1 \right )}\]

AVVERTENZA.- Notiamo che in generale il dominio della funzione si ottiene risolvendo i seguenti sistemi \[\left\{\begin{matrix} x+1 &>0 \\ log_{4}x & \in R \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x+1 &=0 \\ log_{4}x& >0 \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x+1 &<0 \\ log_{4}x& \in Q_{d} \end{matrix}\right.\] con x > 0 e \[Q_{d}=\left \{ x=\frac{m}{n} \in Q,con\, \, n\, \, dispari\right \}\] e in questo esempio il dominio rimane ancora l’intervallo \[D=\left ( 0,+\infty \right )\]  ma in altri casi potrebbe essere diverso da D. Ad esempio la funzione \[f(x)=\left ( x-2 \right )^{x}\] è definita per \[\left\{\begin{matrix} x-2 &>0 \\ x\in R & \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x-2 &=0 \\ x>0 & \end{matrix}\right.\cup \left\{\begin{matrix} x-2 &<0 \\ x\in Q_{d} & \end{matrix}\right.\] ed ammette come dominio \[D=\left ( 2,+\infty \right )\cup \left \{ 2 \right \}\cup \left ( (-\infty ,2)\cap Q_{d} \right )\]
mentre se ci si limita solo al primo sistema si ottiene \[\left ( 2,+\infty \right )\]
Analogo ragionamento vale per ogni funzione del tipo \[y=f(x)^{g(x)}\] ma per mantenere la validità dell’identità \[f(x)^{g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}\]
si assume solo che sia f(x) > 0 per il calcolo del dominio di tale funzione composta.

19.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[f(x)=(x)^{arcsen\, x}\] \[y=\left ( x^{2}+6x+5 \right )^{\sqrt{4-x^{2}}}\]

20.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=(senx)^{tan\, x}, \, \, f(x)=(senx)^{x},\, \, f(x)=\left ( arcsen\frac{1}{x} \right )^{x}\]

21.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=\left ( arctan\, ln\left ( 1-3^{-\sqrt{x}} \right ) \right ),\, \, f(x)=\sqrt[6]{ln\, cosx},\, \, f(x)=ln\, sen\, cos(x+2),\, \, f(x)=arcsen\, ln\frac{x}{10},\, \, f(x)=\sqrt[4]{log_{2}(x+2)}\]

Risoluzione

Il dominio della funzione \[y=arctan\, ln\left ( 1-3^{-\sqrt{x}} \right )\] si determina risolvendo il sistema: \[\left\{\begin{matrix} 1-3^{-\sqrt{x}} &>0\\ x& \geq 0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=[0,+\infty [\]

Il dominio della funzione \[y=arcsen\left ( ln\frac{x}{10} \right )\]
si ottiene risolvendo il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} ln\left ( \frac{x}{10} \right ) &\leq 1 \\ ln\left ( \frac{x}{10} \right ) &\geq -1 \\ x& >0 \end{matrix}\right.\]
ed è l’intervallo chiuso \[\left [ \frac{10}{e},10e \right ]\]

22.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[f(x)=arc\, cos\frac{2x}{x+1},\, \, f(x)=\frac{x}{\left | ln\, x+1 \right |-1},\, \, f(x)=\sqrt{ln\left ( \frac{sen^{2}x}{1-2cosx} \right )}\] \[y=log_{(x-1)}(x^{2}+3x+2),\, \, y=log_{arctan\, x}\left ( e^{2x}-5e^{x}+6 \right )\]

23.- Calcolare il dominio della seguenti funzioni: \[y=log_{(2x-1)}\left ( x^{2} -4\right ),y=log_{(ln\, x-1)}\left ( e^{x} -5\right ),y=log_{(e^{x}-7)}\left ( log_{3}(2x-7) \right )\]

Risoluzione

Il dominio della prima funzione si ottiene risolvendo il sistema: \[\left\{\begin{matrix} x^{2}-4 & >0\\ 2x-1 &\neq 1 \\ 2x-1 & >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( 2,+\infty \right )\]

Il dominio della seconda funzione si ottiene risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} e^{x}-5 &>0 \\ ln\, x-1 &>0 \\ ln\, x-1 & \neq 1\\ x & >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( e,+\infty \right )\]

Il dominio della terza funzione si ottiene dal sistema. \[\left\{\begin{matrix} e^{x}-7 &>0 \\ log_{3}(2x-7)& >0\\ 2x-7& >0 \end{matrix}\right.\] ed è l’insieme \[D=\left ( 4,+\infty \right )\]

24.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[y=\sqrt{4+\left | x^{2}-1 \right |},\, \, y=\frac{2x-7}{\sqrt{1-\left | \frac{1-x}{x} \right |}},y=\sqrt{\left | x \right |}-arcsen\frac{x-1}{\left | x \right |+1},\: y=\frac{x+2}{\left | lnx+1 \right |+1},\, \, y=\left | artanx \right |^{\sqrt{x^{2}-1}}-ln\left | x^{2}-1 \right |\]

25.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni iperboliche:

\[y=senh\sqrt{7-x^{2}},y=cosh\left ( \frac{1-senx}{\sqrt{1-x^{2}}} \right ),y=tanh\left ( log_{3}\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right ),y=arcsenh\left ( \frac{tanh^{2}x-1}{coshx+1} \right ),y=arccosh\left ( \frac{x^{2}-1}{x3} \right ),y=arctanh\left ( \sqrt{x-1}-x \right ),y=arccoth\left ( \frac{x+2}{x-3} \right )\]

\[y=\left ( \frac{3x}{x-1} \right )^{senh\, x},\, \, y=senh\sqrt{log_{2}(x^{2}-1)},\, \, y=arcsenh\frac{x}{\left | x \right |-x+3}\]

\[y=arctanh\sqrt{\frac{2+e^{x}}{e^{x}-2}},y=cosh\left ( ln\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} \right ),y =tanh\, \frac{ln(x+2)}{\sqrt{x-3}}\]

Nota.- Ricordiamo che: arcsenh x = asenh x = sett senh x, arccosh x = acosh x = settcosh x,
arctanh x = atanh x = setttanh x

AVVERTENZA.- Le funzioni iperboliche elementari hanno il seguente dominio D:

\[y=senh x\rightarrow D= R,\, \, \, y = cosh x\rightarrow D =R\]

\[y=tanh x\rightarrow D= R,\, \, \, y = coth x\rightarrow D =R-\left \{ 0 \right \}\]

\[y=asenh x\rightarrow D= R,\, \, \, y=acosh x\rightarrow D=\left \{ x\in R:x\geq 1 \right \}\]

\[y=atanh x\rightarrow D= \left ( -1,1 \right ),\, \, \, y=acosh x\rightarrow D=\left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )\]

Per calcolarore il dominio della funzione \[y=senh\sqrt{7-x^{2}}\] bisogna richiedere solo che il radicando sia non negativo:  \[7-x^{2}\geq 0\Rightarrow -\sqrt{7}\leq x\leq \sqrt{7}\rightarrow D=\left [ -\sqrt{7},\sqrt{7} \right ]\]

Per calcolare il dominio della funzione \[y=tanh\left ( log_{3}\sqrt{1-\frac{1}{x}} \right )\] bisogna risolvere il seguente sistema: \[\left\{\begin{matrix} \sqrt{1-\frac{1}{x}} &>0 \\ 1-\frac{1}{x} & \geq 0\\ x& \neq 0 \end{matrix}\right. \, \, \, \Rightarrow \, \, 1-\frac{1}{x}>0\Rightarrow \frac{x-1}{x}>0\]
Quindi il domnio D è: \[D=\left ( -\infty ,0 \right )\cup \left ( 1,+\infty \right )\]

26.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni: \[y=\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\left ( arctan\frac{x-\pi }{x-4} \right )},\, y=\sqrt{\frac{\left | tanx \right |-\left | senx \right |}{x-e\cdot lnx}},\, \, y=arcsen\sqrt{1-log^{2}_{2}\, senx}\] \[y=\sqrt{arccos\, log_{2}\left ( sen\: e^{x} \right )-\frac{2\pi }{3}},\, \, y=\sqrt{log_{3}\left ( \sqrt{x^{2}-1} -3x+4\right )+log_{\frac{1}{9}}\left ( x^{2}+2x+1 \right )},\, \, \, y =\frac{\sqrt{\frac{1}{2}-log_{3}\left ( \frac{1}{2}tanx+senx \right )}+\sqrt{\pi ^{2}-4x^{2}}}{arcsen\left ( \sqrt{x^{2}-x}-\left | x \right | \right )}\]

27.- Calcolare il dominio delle seguenti funzioni:  \[f(x)= arctan\left ( \frac{x}{\left | x+2 \right |} \right )+ln\left ( 2+e^{\left | x+2 \right |+x} \right ),\, \, f(x)=\left ( ln \sqrt[3]{x^{2}}\right )^{\left ( \frac{2^{x}}{\sqrt{-2+3x-x^{2}}} \right )}+\sqrt{-1+2senx},\, \, f(x)=ln\left ( arcsen\sqrt{x+1}-x \right ), \, \, f(x)=\sqrt{\left ( \frac{x-1}{x} \right )^{2}-\left ( \frac{x}{x-1} \right )^{2}}\cdot ln(x-6),\, \, f(x)=ln\left [ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-4} -\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{5}{x}}\right ],\, \, f(x)=\sqrt[4]{senln\left ( e^{x}-1 \right )},\, \, f(x)=\frac{\sqrt{\frac{1}{2}-log_{2}x}}{\sqrt{log_{\frac{1}{2}}\sqrt{\left | x-1 \right |}}}, \, \, f(x)=ln\left ( 6arcsen\frac{x}{x-1}-\pi \right ), \, \, f(x)=lnlog_{\frac{1}{3}}\left ( x^{2}-1 \right )\]