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Sistemi lineari per la facoltà di matematica

Risolvere i seguenti sistemi lineari con, e senza, parametro, assegnati alla facoltà di Matematica.

N.1.- Risolvere il seguente sistema lineare nel parametro reale k\[\left\{\begin{matrix} kx+(-2k+1)y+z & =4-2k\\ (k+1)y+z &=k+3 \\ 2kx-5(k+1)y+2z& =8-9k \end{matrix}\right.\]

N.2.- Risolvere il seguente sistema lineare \[\left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{2}+6x_{3}+2x_{4} & =0\\ 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+2x_{4} &=0 \\ \end{matrix}\right.\]

Si tratta di un sistema omogeneo, dunque compatibile, con due equazioni indipendenti e 4 incognite. Bisogna dunque fissare due incognite e risolvere con il metodo di Cramer…

N.3.- Risolvere il seguente sistema lineare nel parametro reale m \[\left\{\begin{matrix} 3x_{1}+8x_{2} & =5m+35\\ 7x_{1}+(2-m)x_{3} &=9-8m \\ 2x_{1}+2x_{3} &=4-2m \end{matrix}\right.\]

N.4.- Risolvere il seguente sistema lineare \[\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-2x_{2} & =0\\ x_{3}+3x_{4} &=2 \\ 3x_{1}-3x_{2} &=0\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}+6x_{4} &=4 \end{matrix}\right.\]

N.5.- Risolvere il seguente sistema lineare \[\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-x_{2}-x_{3}-4x_{4} & =9\\ 2x_{1}-3x_{3}-x_{4} &=0 \\ 8x_{1}-2x_{2}-5x_{3}-9x_{4} &=18\\ \end{matrix}\right.\]

N.6.- Risolvere il seguente sistema lineare \[\left\{\begin{matrix} 2x_{1}-3x_{2}-2x_{3}+x_{4} & =0\\ 4x_{1}-6x_{3}+x_{3}-2x_{4} &=0 \\ 6x_{1}-9x_{2}-x_{3}-x_{4} &=0\\ \end{matrix}\right.\]

N.7.- Risolvere il seguente sistema lineare nel parametro reale k \[\left\{\begin{matrix} 2x_{1}+k\cdot x_{3} & =1\\ 3x_{1}+k\cdot x_{3}-2x_{3} &=2 \\ k\cdot x_{1}+2x_{3} &=1\\ \end{matrix}\right.\]

N.8.- Risolvere il seguente sistema lineare nel parametro reale m \[\left\{\begin{matrix} (m+1)x_{1}-m\cdot x_{2}+(2m+1)x_{3} & =3+2m\\ (m+1)x_{1}-m\cdot x_{3}+2mx_{3} &=1+3m \\ (-m-1)\cdot x_{1}+(-2k-1)2x_{3} &=-3m-3\\ \end{matrix}\right.\]

N.9.- Risolvere il seguente sistema lineare  \[\left\{\begin{matrix} x+3y+z & =5\\ 2x+4y+2z+2w &=10 \\ 4x+10y+4z+2w &=20\\ 3x+7y+3z+2w&=15 \end{matrix}\right.\]

N.10.- Risolvere il seguente sistema lineare  \[\left\{\begin{matrix} x& =0\\ 6y+3z+2w &=0 \\ y+2w &=0\\ 4y+5z+w&=0 \end{matrix}\right.\]

Il sistema è omogeneo e dunque compatibile, con 4 equazioni indipendenti e 4 incognite. Quindi ammette solo la soluzione banale (0,0,0,0).