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Sistemi lineari con parametro per la facoltà economia

Risolvere i seguenti sistemi lineari con parametro per la facoltà di economia.

N.1.- Risolvere il seguente sistema con k parametro reale \[\left\{\begin{matrix} 2x+3z &=2 \\ x+y-z& =0\\ 2x+4y-z&=k \end{matrix}\right.\]

N.2.- Risolvere il seguente sistema parametrico \[\left\{\begin{matrix} x+2y &=1 \\ x-y &=0 \\ kx-2y &=4 \end{matrix}\right.\]

Non sai risolvere il sistema? Allora vedi il mio video nel mio canale Youtube

N.3.- Risolvi il seguente sistema omogeneo e  parametrico \[\left\{\begin{matrix} x+y+z &=0 \\ x+ky &=0 \\ x-y+kz &=0 \end{matrix}\right.\]

O lo risolvi da solo o vedi il mio video

N.4.- Risolvere il seguente sistema con m parametro reale\[\left\{\begin{matrix} mx+5y &=0 \\ 5x+my& =0\\ mx+2my&=1 \end{matrix}\right.\]

Consideriamo le matrici incomplete e complete associate al sistema: \[A=\begin{bmatrix} m &5\\ 5 &m \\ m & 2m \end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix} m & 5 &0 \\ 5& m &0 \\ m & 2m & 1 \end{bmatrix}\]
e determiniamo i ranghi delle due matrici, A e B, onde applicare il teorema di Rouché Capelli.
Dato che \[\begin{vmatrix} m & 5\\ 5 & m \end{vmatrix}=m^{2}-25\neq 0\Rightarrow m\neq \pm 5\] il rango di A è 2 se \[m\neq \pm 5\]
Per m= 5 esiste il minore \[\begin{vmatrix} 5 &5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix}=50-25\neq 0\] e dunque il rango di A è ancora 2, lo stesso vale per m = -5. Quindi il rango di A è 2 per ogni m reale. Per determinare il rango di B osserviamo che \[\begin{vmatrix} m & 5 &0 \\ 5 &m &0 \\ m& 2m & 1 \end{vmatrix}=m^{2}-25\neq 0\Rightarrow m\neq\pm 5 \]
Quindi il rango di B è 3 se \[m\neq \pm 5\] mentre è 2 se \[m=\pm 5\].
Applicando il teorema di Rouché Capelli si ha che il sistema è impossibile per \[m\neq \pm 5\] mentre è compatibile con due equazioni indipendenti per \[m=\pm 5\].
Per m = 5 il sistema equivale al seguente \[\left\{\begin{matrix} 5x+5y &=0 \\ 5x+10y & =1 \end{matrix}\right.\] con soluzione \[\left ( -\frac{1}{5},\frac{1}{5} \right )\]
mentre per m = -5 al seguente\[\left\{\begin{matrix} 5x-5y &=0 \\ 5x-10y & =1 \end{matrix}\right.\] con soluzione\[\left ( -\frac{1}{5},-\frac{1}{5} \right )\]

N.5.- Risolvere il seguente sistema con m parametro reale \[\left\{\begin{matrix} x+y &=1 \\ -x+my& =m-1\\ mx-y&=0 \end{matrix}\right.\]

N.6.- Risolvere il seguente sistema con m parametro reale\[\left\{\begin{matrix} mx+y &=m\\ mx+my& =1\\ \end{matrix}\right.\]

N.7.- Risolvere il seguente sistema con k parametro reale \[\left\{\begin{matrix} ky & =0\\ kx+y &=1 \\ x+y& =1 \end{matrix}\right.\]

N.8.- Risolvere il seguente sistema con b parametro reale \[\left\{\begin{matrix} x-by & =b\\ 2x+2by &=0 \\ 3x+by& =b \end{matrix}\right.\]

N.9- Risolvere il seguente sistema con k  parametro reale \[\left\{\begin{matrix} kx+y & =1\\ x+y &=k \\ x+2ky& =0 \end{matrix}\right.\]

N.10- Risolvere il seguente sistema con k  parametro reale \[\left\{\begin{matrix} kx+2y-kz=k-3 & \\ 3kx+ky & k^{2}\\ 2x+ky+(k+1)z & 2k^{2} \end{matrix}\right.\]