Campo di esistenza o dominio di una funzione

Determina il campo di esistenza o dominio, delle seguenti funzioni (per esercizi universitari clicca qui).
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AVVERTENZA.- Per imparare a determinare il dominio o campo di esistenza o insieme di definizione di una funzione conviene procedere come indicato qui di seguito. Precisamente tenuto conto della classificazione della funzione matematiche faremo vedere prima il calcolo di una funzione razionale intera, poi di una funzione razionale fratta, quindi di una funzione irrazionale avente come radicando un polinomio P(x), quindi faremo vedere come si calcola il dominio di una funzione logartimo o esponenziale avente come argomento un polinomio P(x). Successivamente con altri esempi (a partire dall'esercizio 6) vedremo come si procede in generale.

1.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni razionali intere

y=\frac{1}{3}x^{2}-1,\, f(x)=x^{6}-3x^{5}-4,\: y=\sqrt{2}x^{4}-\frac{1}{3}x+\sqrt[7]{2}

Il dominio di tali funzioni è l'insieme R dei numeri reali.

NOTA 1.- In genere tali funzioni razionali intere si indicano con il simbolo 

y=P(x)

ove P(x) indica un polinomio di grado n. Il dominio di una tale funzione ed è sempre R perché per ogni numero reale x si possono sempre eseguire tutte le operazioni indicate nel polinomio e ottenere il corrispondente valore reale di y.

2.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni razionali fratte

y=\frac{3}{x-2},y=\frac{3x}{x^{2}-9},y=\frac{5x+1}{x^{2}-7x+10},y=\frac{3x+1}{x^{2}+42},y=\frac{x^{3}}{x^{2}-2},y=\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}-9x+8}

Il dominio della funzione 

y=\frac{3}{x-2}

si ottiene richiedendo che il denominatore non sia nullo: 

x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2


Quindi il domnio è l'insieme R - { 2 }.

NOTA 2.- In genere tali funzioni razionali fratte si indicano con il simbolo

y=\frac{P(x)}{Q(x)}


ove P(x) indica un polinomio di grado n e Q(x) un polinomio di grado m. Il dominio di una tale funzione si ottiene richiedendo che il denominatore non si annulli, è sempre l'insieme R dei numeri reali o una sua parte: 

D=\left \{ x\in R:Q(x)\neq 0 \right \}\subseteq R

Risultati: D = R - { -3, 3 };  D = R - { 2, 5}; D = R; ...

3.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni irrazionali

y=\sqrt{2x-7},y=\sqrt{9-x^{2}},y=\sqrt{2x^{2}-x-1},y=\sqrt{x^{2}-3x+1}

y=\sqrt[3]{x^{2}-1},y=\sqrt[3]{x^{3}-3x+1},y=\sqrt[4]{2x-1},y=\sqrt[6]{x^{4}-1},y=\sqrt[5]{x^{4}+1},y=\sqrt[12]{x^{4}+1},y=\sqrt{x^{2}+x+1}

Il dominio o campo di esistenza  della funzione 

y=\sqrt{9-x^{2}}

si ottiene, tenuto conto che l'indice di radice è 2 cioè pari, richiedendo che il radicando della radice non sia negativo: 

9-x^{2}\geq 0\Rightarrow -3\leq x\leq 3


Pertanto il dominio della funzione è l'intervallo chiuso D = [ - 3, 3 ].

Il dominio della funzione 

y=\sqrt[3]{x^{2}-1}

è l'insieme R dei numeri reali, tenuto conto che l'indice di radice è 3, cioè dispari.

NOTA 3.-Il dominio di una funzione irrazionale indicata in genere con il simbolo 

y=\sqrt[n]{P(x)}

con P(x) polinomio è l'insieme R dei numeri reali se l'indice n di radice è dispari, mentre si ottiene richiedendo che il radicando non sia negativo se n è pari, in pratica in questo secondo caso bisogna risolvere la disequazione

P(x)\geq 0

e il suo insieme soluzione è il dominio della funzione.
.

4.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni logaritmiche

y=log_{2}(x-1),y=log_{7}(x^{2}-6x+5),y=ln(3x+2),y=ln\left ( 1-x^{3} \right )

Il dominio della funzione 

y=log_{2}(x-1)

si ottiene richiedendo che l'argomento del logartimo sia positivo:

x-1>0\Rightarrow x>1

Pertanto il domnio della funzione è l'intervallo illimitato 

D=\left ( 1,+\infty \right )

NOTA 4.-Il dominio di una funzione logaritmica indicata in genere con il simbolo

y=log_{a}\, \, P(x)


con P(x) polinomio si ottiene richiedendo che l'argomento del logaritmo sia positivo, in pratica bisogna risolvere la disequazione

P(x)>0

e il suo insieme soluzione è il dominio della funzione.

5.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni esponenziali

y=3^{x^{2}-4},y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{3x+6},y=e^{x-x^{2}}

Il dominio della funzione 

y=3^{x^{2}-4}

dipende dal dominio della funzione che si trova all'esponente 

P(x)=x^{2}-4


Quest'ultima funzione è razionale intera e dunque il suo dominio è R, di conseguenza R è anche il dominio della funzione assegnata.

6.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni 

y=\frac{1}{x-1}+\sqrt{2x-5}-\frac{2}{ln(3x+4)}

Per determinare il dominio di tale funzione bisogna risolvere il seguente sistema 

\left\{\begin{matrix} x-1 & \neq 0\\ 2x-5 &\geq 0 \\ ln(3x+4)&\neq 0 \\ 3x+4 & >0 \end{matrix}\right.

Risolto tale sistema si vede che il dominio è l'insieme: 

D = [ \, \, \frac{5}{2},+\infty [

Prova  a calcolare il dominio della seguente funzione 

f(x)=\frac{\sqrt{3x-1}}{x^{2}-4}


Ci sei riuscito? Nooooooo? Allora guarda il video

7.- Determinare il dominio della seguente funzione

y=log_{2}\left ( \frac{x-1}{\sqrt{x^{3}+1}} \right )

Per determinare il dominio di tale funzione bisogna risolvere la seguente disequazione

\frac{x-1}{\sqrt{x^{3}+1}}>0

Risolta tale disequazione fratta si vede che il dominio è l'insieme: 

D = \left ( 1,+\infty \right )

Calcola il dominio della seguente funzione 

y=\sqrt{\left | x+1 \right |}-\frac{e^{\frac{1}{x+3}}}{log\left | x-2 \right |}

e se non riesci guarda il mio video

8.- Determinare il dominio della seguente funzione

f(x)=e^{\sqrt{2x-8}}-\frac{1}{3^{x+2}}+\frac{1}{x-7}

Per determinare il dominio della funzione bisogna risolvere il sistema: \

\left\{\begin{matrix} 2x-8 &\geq 0 \\ 3^{x+2}&\neq 0 \\ x-7 & \neq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-8 &\geqslant 0 \\ x-7& \neq 0 \end{matrix}\right.

E visto che ti stai divertendo ti propongo anche di calcolare il dominio di questa funzione 

y=\sqrt{\frac{log^{2}\, x-4}{log^{2}\, x+1}}

e come al solito se non riesci a farlo puoi consultare il mio video sul mio canale Youtube.

9.- Determinare il dominio della seguente funzione: 

y=\sqrt{\frac{e^{x}-3}{e^{2x}-4e^{x}+4}}-\frac{1}{e^{x}-7}

Divertiti con questo dominio (da calcolare) 

y=\frac{1}{x^{2}-1}+\sqrt{x-4}+\frac{4}{\sqrt{x+2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

(video svolto)

E ancora 

y=\frac{log(x+4)}{e^{x}-1}


(video svolto)

10.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni goniometriche: 

y=\frac{1}{2senx-1},\, y=\frac{x}{2cosx-\sqrt{2}},\, y=\frac{e^{x}}{tanx-1},y=\sqrt{senx-\frac{1}{4}}

Per determinare il dominio della prima funzione bisogna richidere soltanto che il denominatore non sia zero, ossia: 

2sen\, x-1\neq 0

da cui discende che il domino è l'insieme 

D=R-\left \{ \frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right \}_{k\in Z}

11.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni goniometriche inverse:

y=arcsen\left ( x-\frac{1}{2} \right ),y=arctan\left ( x^{2}-2 \right ), y = arccos(2x-1)

Per determinare il dominio della prima funzione bisogna richiedere che l'argomento dell'arcoseno sia compreso tra -1 ed 1, ossia 

-1\leq x-\frac{1}{2}\leq 1

da cui si ha che il dominio è l'insieme 

D=\left [ -\frac{1}{2} ,\frac{3}{2}\right ]


Il dominio della seconda funzione è invece l'insieme R dei numeri reali perché l'arcotangente non ha limitazioni sul proprio argomento, tenuto conto che in questo esempio l'argomento dell'arcotangente è un polinomio ed è definito in R.
Per la terza funzione bisogna richiedere invece che 

-1\leq 2x-1\leq 1\, \, \Rightarrow \, \, 0\leq 2x\leq 3\, \, \Rightarrow \, \, 0\leq x\leq \frac{3}{2}

AVVERTENZA.- Le funzioni goniometriche elementari dirette e inverse hanno il seguente dominio D:

y=senx\rightarrow D=R,\, \, y=cosx\rightarrow D=R

y=tanx\rightarrow D=R-\left \{ \frac{\pi }{2} +k\pi \right \}_{k\in Z},\, \, y=cotx\rightarrow D=R-\left \{ k\pi \right \}_{k\in Z}

y=cscx\rightarrow D=R-\left \{ k\pi \right \}_{k\in Z},\, \, y=secx\rightarrow D=R-\left \{ \frac{\pi }{2}+k\pi \right \}_{k\in Z}

y=arcsenx\rightarrow D=\left [ -1,1 \right ],\, \, y=arccosx\rightarrow D=\left [ -1,1 \right ]

y=arctanx\rightarrow D=R,\, \, y=arccotx\rightarrow D=R

y=arccsc\, x\rightarrow D=\left \{ x\in R:x\leq -1,x\geq 1 \right \},\, y =arcsec\, x\rightarrow D=\left \{ x\in R:x\leq -1,x\geq 1 \right \}

 

12.- Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 

y=\frac{3}{\left | x-1 \right |-\left | x-2 \right |},\, \, y=\left | x-1 \right |^{5},\, \, \, y=\sqrt{\left | x^{2}-1 \right |}, \, \, y =ln\left | \frac{3-x}{x} \right |

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