Calcolare i seguenti integrali immediati

AVVERTENZA.- Il calcolo dei seguenti integrali si può fare agevolmente utilizzando la seguente tabella, dedotta da quella degli integrali fondamentali sostituendo x con f(x) e moltiplicando la funzione integrando per f ' (x). La seguente tabella è importantissima e va ricordata a memoria:

1)\, \, \, \, \int f'(x)f(x)^{n}dx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+c,\, \, \, \, \, \forall n\neq -1

2)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=ln\left | f(x) \right |+c

3)\, \, \, \, \int f'(x)a^{f(x)}dx=\frac{a^{f(x)}}{lna}+c=a^{f(x)}\cdot ln_{a}\, e+c

4)\, \, \, \, \int f'(x)e^{f(x)}dx={e^{f(x)}}+c

5)\, \, \, \, \int f'(x)senf(x)dx=-cosf(x)+c

6)\, \, \, \, \int f'(x)cosf(x)dx=senf(x)+c

7)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{cos^{2}f(x)}dx=tanf(x)+c

8)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{sen^{2}f(x)}dx=-ctgf(x)+c

9)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^{2}}}dx=arcsenf(x)+c

10)\, \, \, \, \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^{2}}dx=arctanf(x)+c

La tabella si può ampliare aggiungendo gli integrali delle funzioni iperboliche.

11)\, \, \, \, \int f'(x)senhf(x)dx=coshf(x)+c

12)\, \, \, \, \int f'(x)coshf(x)dx=senhf(x)+c

13)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{cosh^{2}f(x)}dx=tanhf(x)+c

14)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{\sqrt{1+f\left ( x \right )^{2}}}dx=arcsenhf(x)+c

15)\, \, \, \, \int \frac{f'(x}{1-f(x)^{2}}dx=arctanh\, f(x)+c

1.- Calcolare il seguente integrale:

\int\frac{dx}{\left ( 3+2x \right )^{5}}

Per calcolare l'integrale basta riscriverlo nel seguente modo 

\int\, \left ( 3+2x \right )^{-5}dx

e di conseguenza moltiplicare e dividere la funzione integranda per 2, si ha: 

\int\,\frac{2}{2} \left ( 3+2x \right )^{-4}dx=\frac{1}{2}\int\,2 \left ( 3+2x \right )^{-4}dx=\frac{1}{2}\frac{\left ( 3+2x \right )^{-3}}{-3}=-\frac{1}{6}\frac{1}{\left ( 3+2x \right )^{3}}+c

Abbiamo applicato la seguente regola (1).
Se hai qualche dubbio riprova con questo 

\int (2x+3)\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{7}dx


Si vede facilmente che 

f(x)=x^{2}+3x+7,\, \, f'(x)=2x+3,\, \, n = 7

e dunque si può applicare la regola (1) direttamente. Si ha:

\int \left ( 2x+3 \right )\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{7}dx=\frac{\left ( x^{2}+3x+7 \right )^{8}}{8}+c

Tutto ok? Bene, continua ad esercitarti, alla fine questi integrali si fanno ad occhio, ovvero si osserva se tutto è a posto, o se manca una costante e si procede...ossia si deduce il risultato!
2.- Calcolare il seguente integrale:

\int\frac{dx}{\sqrt[5]{4x+3}}

 

3.- Calcolare il seguente integrale:

\int x^{2}e^{-x^{3}}dx

Applicando la seguente regola

\int\,f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+c


Si ha:

\int\,x^{2}e^{-x^{3}}dx=-\frac{1}{3}\int\,-3x^{2}e^{-x^{3}}dx=-\frac{1}{3}e^{-x^{3}}+c

Tutto chiaro? Se hai dubbi prova a vedere il seguente video con due ulteriori esempi svolti.

Se hai ancora dubbi prova a calcolare il seguente integrale 

\int \frac{sen\left ( lnx+1 \right )}{x}dx


Scommetto che hai capito! Se proprio non va oggi, accidenti,...allora vedi il video !

E se non hai capito il metodo vedi anche questo secondo video... Ora devi aver capito!

4.- Calcolare il seguente integrale:

\int x\sqrt{1-x^{2}}dx

Suggerimento:- Si tratta di applicare la regola (1)...

5.- Calcolare il seguente integrale:

\int\frac{dx}{arctan^{2}3x\cdot \left ( 1+9x^{2} \right )}

Non riesci a calcolarlo? Allora prova a vedere un esempio completamente svolto nel seguente video!

6.- Calcolare il seguente integrale:

\int\, sen^{3}x\, cosx\, dx

Se non ci riesci prova a vedere il seguente video, si chiede qualcosa in più ma come prima cosa bisogna calcolare l'integrale indefinito qui assegnato.

7.- Calcolare il seguente integrale:

\int\, \frac{lnx}{x} dx

Sembra difficile ma è ovvio, banale, ridicolo... a questo punto lo farai sicuramente ad occhio, senza calcoli!

8.- Calcolare il seguente integrale:

\int\, \frac{dx}{1-senx}

 

9.- Calcolare il seguente integrale:

\int\, \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}dx

 

10.- Calcolare il seguente integrale:

\int\, \frac{2^{tanx}}{1+cos2x}dx

11.- Calcolare il seguente integrale: 

\int \frac{senx}{cos^{8}x}dx

12.- Calcolare il seguente integrale: 

\int \frac{arcsen^{5}x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx

13.- Calcolare il seguente integrale: 

\int \sqrt{4-5x+7x^{5}}\left (-35x^{2} +5 \right )dx

14.- Calcolare il seguente integrale: 

\int \frac{1}{\sqrt{1-9x^{2}}}dx

15.- Calcolare il seguente integrale: 

\int \frac{3senxcosx}{\sqrt{1+cos^{2}x}}dx

16.- Altri dieci integrali immediati: 1  2

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