Il lotto, i matematici e la simmetria mancante

Qual è la probabilità di azzeccare un estratto semplice giocando sulla ruota di Bari?  Tutti in coro: 1/18
FALSO.
Sono però d’accordo a dire che 1/18 è la probabilità d’uscita di un estratto semplice in un gioco del lotto ideale.
In effetti, osservando lo svolgimento di preparazione e di estrazione dei bussolotti, nel gioco del Lotto italiano, si osservano delle curiose “stranezze” che, a mio avviso, non permettono di applicare a tale gioco le considerazioni matematiche del calcolo delle probabilità.

Ma cosa non va nell’estrazione dei bussolotti? E’ presto detto, e lo dirò con un esempio ideale.
Prepariamo, allora, un’estrazione utilizzando dei bussolotti trasparenti con all’interno il numero scritto su una pallina bianca, invece che sul tipico lenzuolino di carta.
Disponiamo ora i bussolotti nel tipico cesto con la seguente configurazione:

1. I numeri da 1 a 45 in basso
2. i numeri da 46 a 90 in alto, cioè tutti al di sopra dei numeri da 1 a 45

Giriamo il cesto 3 volte in senso orario e 2 volte in senso antiorario e, ammettiamo (cosa possibilissima), che la configurazione descritta nei punti 1 e 2 sia rimasta sostanzialmente invariata.
Qual è allora la probabilità di estrarre un numero da 1 a 45 e qual è quella di un numero da 46 a 90?
Per rispondere alla seguente domanda facciamo eseguire il calcolo a tre soggetti:

1) un matematico posto in una stanza chiusa e che non è stato informato della configurazione adottata nel disporre i bussolotti ma è al corrente di giri fatti fare al cesto;
2) il bambino bendato e che non è stato informato della disposizione dei bussolotti ma solo del numero dei giri fatti fare al cesto;
3) il signor X, del pubblico, che ha osservato tutta la preparazione e l’estrazione dei bussolotti.

Ebbene, cosa si può concludere? Secondo me, il matematico applicando il calcolo delle probabilità, senza utilizzare un pizzico di buon senso (o di cattiveria) affermerà che la probabilità di estrarre a caso un solo numero è di 1/90 e quindi, ad esempio, punterà sul 32.
Il bambino sostanzialmente farà la stessa cosa e punterà sul 42.
Il signor X, dotato di un po’ di cattiveria (o buon senso) punterà invece su un numero maggiore di 45. E avrà più “fortuna”.
Il signor X ha ragione. Infatti, chiunque potesse osservare la situazione all’atto dell’estrazione si accorgerebbe che:

1. il numero dei giri del cesto non garantisce l’uniformità della disposizione dei bussolotti rispetto al punto d’estrazione; in sostanza i numeri disposti al di sopra degli altri rimarranno essenzialmente al di sopra.
2. la mano del bambino, attraverso la porta del cesto, non riesce a prendere numeri al di sotto di un certo livello (quasi mai, nella realtà prende un bussolotto scavando tra quelli posti in alto). Inoltre, il bambino potrebbe avere delle preferenze tra la destra e la sinistra e quindi spostarsi di volta in volta o più a destra o più a sinistra.
3. Sicuramente, la configurazione iniziale adottata dall’addetto del Lotto nel disporre i bussolotti nel cesto è arbitraria. Voglio dire, che, sicuramente, non viene scelta una disposizione diversa ad ogni successiva estrazione (ragioni pratiche suggeriscono che debba essere così), né che i numeri vengono disposti sempre con la stessa configurazione iniziale. E' facile capire che qualsiasi disposizione adottata, a causa del sistema di estrazione, altera l'equiprobabilità degli eventi.
4. I bussolotti, inoltre, non sono disposti in maniera simmetrica rispetto all’asse di rotazione e, pertanto, non si riesce a mischiare uniformemente.
5. Il peso dei bussolotti non uguale (per natura fisica) e gli attriti tra le palline e tra le palline e il cesto non possono essere esattamente uguali. E questo crea ulteriori problemi alla teorica uniformità di disposizione dei bussolotti rispetto al punto d’estrazione (ma di questo punto possiamo non tener conto).

Pertanto, ad ogni estrazione ci saranno dei numeri meglio disposti rispetto al punto d’estrazione; in sostanza la tecnica d’estrazione del lotto somiglia, a mio parere, ad un “imbuto”, ed è ovvio che solo i numeri più vicini all’apertura del canale saranno estratti.
Per tutti questi motivi, credo che al gioco del Lotto italiano non è applicabile il calcolo delle probabilità in quanto gli eventi non sono equiprobabili.

Osserviamo che in altri paesi europei (Germania ed altri) il meccanismo d’estrazione è totalmente diverso da quello italiano, appunto, per garantire l’equiprobabilità teorica ( si fa per dire) tra gli eventi (cosa che naturalmente non può mai essere raggiunta). Da qualche anno anche in Italia sono state introdotti dei sistemi automatici per estrarre i numeri.

Qualcuno potrebbe dire: i giocatori (teoricamente) non conoscono la disposizione iniziale dei numeri e non riescono a vedere (Spero!) attraverso i bussolotti e, pertanto, sono tutti alla pari.
E’ vero; ma questo non è il problema da me posto. 

Osservazione di Giorgio Jano

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