Il lotto i matematici e la simmetria mancante

Qual è la probabilità di azzeccare un estratto semplice giocando sulla ruota di Bari?  Tutti in coro: 1/18
FALSO.
Sono però d’accordo a dire che 1/18 è la probabilità d’uscita di un estratto semplice in un gioco del lotto ideale.
In effetti, osservando lo svolgimento di preparazione e di estrazione dei bussolotti, nel gioco del Lotto italiano, si osservano delle curiose “stranezze” che, a mio avviso, non permettono di applicare a tale gioco le considerazioni matematiche del calcolo delle probabilità.

Ma cosa non va nell’estrazione dei bussolotti? E’ presto detto, e lo dirò con un esempio ideale.
Prepariamo, allora, un’estrazione utilizzando dei bussolotti trasparenti con all’interno il numero scritto su una pallina bianca, invece che sul tipico lenzuolino di carta.
Disponiamo ora i bussolotti nel tipico cesto con la seguente configurazione:

1. I numeri da 1 a 45 in basso
2. i numeri da 46 a 90 in alto, cioè tutti al di sopra dei numeri da 1 a 45

Giriamo il cesto 3 volte in senso orario e 2 volte in senso antiorario e, ammettiamo (cosa possibilissima), che la configurazione descritta nei punti 1 e 2 sia rimasta sostanzialmente invariata.
Qual è allora la probabilità di estrarre un numero da 1 a 45 e qual è quella di un numero da 46 a 90?
Per rispondere alla seguente domanda facciamo eseguire il calcolo a tre soggetti:

1) un matematico posto in una stanza chiusa e che non è stato informato della configurazione adottata nel disporre i bussolotti ma è al corrente di giri fatti fare al cesto;
2) il bambino bendato e che non è stato informato della disposizione dei bussolotti ma solo del numero dei giri fatti fare al cesto;
3) il signor X, del pubblico, che ha osservato tutta la preparazione e l’estrazione dei bussolotti.

Ebbene, cosa si può concludere? Secondo me, il matematico applicando il calcolo delle probabilità, senza utilizzare un pizzico di buon senso (o di cattiveria) affermerà che la probabilità di estrarre a caso un solo numero è di 1/90 e quindi, ad esempio, punterà sul 32.
Il bambino sostanzialmente farà la stessa cosa e punterà sul 42.
Il signor X, dotato di un po’ di cattiveria (o buon senso) punterà invece su un numero maggiore di 45. E avrà più “fortuna”.
Il signor X ha ragione. Infatti, chiunque potesse osservare la situazione all’atto dell’estrazione si accorgerebbe che:

1. il numero dei giri del cesto non garantisce l’uniformità della disposizione dei bussolotti rispetto al punto d’estrazione; in sostanza i numeri disposti al di sopra degli altri rimarranno essenzialmente al di sopra.
2. la mano del bambino, attraverso la porta del cesto, non riesce a prendere numeri al di sotto di un certo livello (quasi mai, nella realtà prende un bussolotto scavando tra quelli posti in alto). Inoltre, il bambino potrebbe avere delle preferenze tra la destra e la sinistra e quindi spostarsi di volta in volta o più a destra o più a sinistra.
3. Sicuramente, la configurazione iniziale adottata dall’addetto del Lotto nel disporre i bussolotti nel cesto è arbitraria. Voglio dire, che, sicuramente, non viene scelta una disposizione diversa ad ogni successiva estrazione (ragioni pratiche suggeriscono che debba essere così), né che i numeri vengono disposti sempre con la stessa configurazione iniziale. E’ facile capire che qualsiasi disposizione adottata, a causa del sistema di estrazione, altera l’equiprobabilità degli eventi.
4. I bussolotti, inoltre, non sono disposti in maniera simmetrica rispetto all’asse di rotazione e, pertanto, non si riesce a mischiare uniformemente.
5. Il peso dei bussolotti non uguale (per natura fisica) e gli attriti tra le palline e tra le palline e il cesto non possono essere esattamente uguali. E questo crea ulteriori problemi alla teorica uniformità di disposizione dei bussolotti rispetto al punto d’estrazione (ma di questo punto possiamo non tener conto).

Pertanto, ad ogni estrazione ci saranno dei numeri meglio disposti rispetto al punto d’estrazione; in sostanza la tecnica d’estrazione del lotto somiglia, a mio parere, ad un “imbuto”, ed è ovvio che solo i numeri più vicini all’apertura del canale saranno estratti.
Per tutti questi motivi, credo che al gioco del Lotto italiano non è applicabile il calcolo delle probabilità in quanto gli eventi non sono equiprobabili.

Osserviamo che in altri paesi europei (Germania ed altri) il meccanismo d’estrazione è totalmente diverso da quello italiano, appunto, per garantire l’equiprobabilità teorica ( si fa per dire) tra gli eventi (cosa che naturalmente non può mai essere raggiunta). Da qualche anno anche in Italia sono state introdotti dei sistemi automatici per estrarre i numeri.

Qualcuno potrebbe dire: i giocatori (teoricamente) non conoscono la disposizione iniziale dei numeri e non riescono a vedere (Spero!) attraverso i bussolotti e, pertanto, sono tutti alla pari.
E’ vero; ma questo non è il problema da me posto.

Osservazione di Giorgio Jano

Nell’anno in cui fu istituito il Superenalotto (non ricordo se il 1996 o il 1997), nonostante non avessi mai giocato al Lotto, provai anch’io la sorte come milioni di italiani e guardai una volta alla televisione il programma in cui veniva presentata l’estrazione.
(A differenza di ora, allora si estraevano subito tutti, uno dopo l’altro, i numeri del Superenalotto, che costituivano i primi estratti delle sei ruote di Bari, Firenze, Milano, Napoli, Palermo e Roma, più il jolly della ruota di Venezia. Poichè i numeri venivano estratti uno dopo l’altro e non più rimessi nell’urna era evidente l’impossibilità di combinazioni in cui uno stesso numero venisse ripetuto due o più volte (“combinazioni impossibili”). Tale modo di procedere alterava tuttavia gravemente le regole del Lotto e in particolare la regola dell’indipendenza delle Ruote e fu in un qualche momento poi sostituito con la procedura attualmente in uso (estrazione dei “primi estratti” su ogni ruota). Così oggi, invece, le “combinazioni impossibili” non sono più tali, e vengono, stranamente, eliminate comunque per regolamento).
L’osservazione dell’intero il dispositivo di estrazione provocò in me sorpresa e profondo disagio a un tempo: tutto avveniva all’opposto di quanto ci si doveva aspettare per ottenere una scelta veramente casuale dei sette numeri.
La forma dell’urna, la modalità di agitazione, i bussolotti e la procedura di estrazione, nonostante l’apparenza, erano totalmente difformi da quelle condizioni che avrebbe dovuto suggerire l’esigenza della casualità (vedi Lotto francese).

1) L’urna.
La forma dell’urna è quella di un ellissoide di rotazione. Questa forma geometrica è ottenuta dalla sfera per deformazione simmetrica (in questo caso per allungamento) lungo uno dei suoi infiniti assi di simmetria. La sfera è la forma geometrica tridimensionale più simmetrica in assoluto, e l’ ellissoide di rotazione la segue immediatamente dopo. Come la sfera esso è privo di discontinuità o di punti singolari; è una superficie a doppia curvatura ; possiede infiniti assi di simmetria binaria e un asse di simmetria “tout court”, l’asse di rotazione geometrica, coincidente, nel nostro caso, con l’asse maggiore. Dopo la sfera è la forma geometrica meno adatta a “scompaginare” in modo caotico una massa di 90 bussolotti. (Si provi a mo’ di esempio a mettere un pugno di biglie di vetro dentro il vaso per i pesci rossi, e si faccia ruotare il tutto. Si provi poi a metterle in un contenitore cubico e si osservi la differenza di comportamento).

2) La modalità di agitazione.
Se collochiamo un certo numero di biglie di metallo o di vetro dentro un vaso per i pesci e lo facciamo ruotare attorno ad un qualunque asse possiamo notare che la loro configurazione iniziale rimane perfettamente inalterata: l’intera massa scivola lungo le pareti del contenitore senza subire alcun rimescolamento. La forza di gravità o meglio la sua componente tangenziale rispetto alla superficie concava genera una sorta di forza di coesione virtuale che tiene compatto l’ammasso e la cui intensità aumenta progressivamente dalla periferia al centro. Per scompaginare l’ammasso dobbiamo allora scuotere violentemente il vaso in modo che le biglie si stacchino dalle pareti e comincino ad urtarsi tra di loro e contro le pareti del contenitore.
Nel nostro caso invece l’ellissoide veniva e viene tuttora fatto semplicemente ruotare attorno a un asse di rotazione meccanica inclinato rispetto ai suoi assi di simmetria geometrica. Tale asse passa per il centro dell’urna e una rotazione attorno ad esso non fa altro che spostare, simmetricamente, da una parte all’altra dell’ellissoide la massa dei bussolotti, senza che la loro disposizione iniziale, a dispetto del rumore prodotto dalle sfere scorrenti sopra la griglia metallica, venga minimamente scompaginata da urti. La massa delle sfere si comporta quasi come un fluido ad alta viscosità. Per di più, dopo una rotazione di tre giri in avanti l’operatore effettua tre giri nel verso opposto; questa modalità equivale a fare tre passi in avanti e tre passi indietro, per ritrovarsi alla fine esattamente nello stesso punto di partenza. Il sistema è reversibile. Se i tre giri in avanti possono infatti forse generare una distorsione tridimensionale “globale” della configurazione iniziale (un po’ come incurvare un foglio di carta), i tre giri nel verso opposto, invertendo le forze che agiscono sul sistema, lo riportano quasi esattamente al punto iniziale, salvo qualche spostamento casuale dei bussolotti posti sui margini della massa (una sapiente regia televisiva, mostrando l’urna ripresa dal basso, mette in evidenza proprio il moto irregolare di questi ultimi).

3) I bussolotti.
Per “scompaginare” in modo caotico una configurazione iniziale di bussolotti sferici è necessario dunque che su di essi si agisca con delle forze capaci di farli urtare ripetutamente tra di loro e contro le pareti del recipiente in cui sono collocati. La meccanica degli urti, che dipende in modo sensibilissimo dall’angolo di impatto, rende praticamente impossibile il calcolo e la previsione della configurazione finale del sistema. Inoltre, anche ammesso (e non concesso) di invertire le forze, il sistema non può più ritornare alla configurazione iniziale; esso è irreversibile.
Per questo motivo i bussolotti dovrebbero essere piccoli, leggeri e costituiti di materiale elastico.
Nel nostro caso invece essi sono grandi, pesanti e metallici, cioè anelastici. Le forze che agiscono su di essi attraverso la rotazione dell’urna ellissoidale sono incapaci di generare qualunque tipo di urto, come si può vedere nell’immagine TV.

4) La procedura di estrazione.
La procedura di estrazione avviene nel modo seguente: dopo la rotazione “simmetrica” l’urna viene fermata e fissata; si apre un piccolo sportello circolare collocato in posizione decentrata e si chiede ad un bambino bendato di estrarre i bussolotti. Al tempo dell’estrazione dei numeri del Superenalotto il bambino estraeva i 7 bussolotti addirittura uno dopo l’altro, senza ricorrere a rimescolamenti intermedi (oggi, nell’estrazione della ruota di Roma presentata in televisione, si fanno).
Apparentemente la bendatura del bambino è una garanzia controil rischio che egli, vedendo, estragga bussolotti segnati, ma questa eventualità è assolutamente inverosimile data la gran quantità di persone (oltre alla TV) presenti al momento dell’estrazione.
Il vero scopo della bendatura è duplice.
Da un lato essa toglie al bambino ogni possibilità di “scelta” perchè attraverso la stretta apertura che gli impedisce di accedere, come si dovrebbe, a tutta la massa delle sfere, sapendo inoltre di essere di fronte alle telecamere in diretta, la sua unica preoccupazione è quella di estrarre i bussolotti senza fare errori. E’ da notare che il bambino infila solo l’avambraccio nell’urna, e non anche il gomito. I bussolotti che estrae sono dunque sempre e solo quelli accessibili al movimento meccanico, ripetuto e obbligato del suo braccino. La solita sapiente regia televisiva impedisce di vedere dove pesca ma è facile capire che si tratta sempre e solo della zona centrale della massa, in prossimità del punto focale dell’ellissoide.
Dall’altro lato la bendatura ha anche lo scopo di impedirgli, dal suo punto di vista privilegiato, di accorgersi che l’insieme dei bussolotti non viene rimescolato affatto durante la rotazione (“Il re è nudo!”).

E’ necessario aggiungere che è l’insieme di tutti gli elementi sopra analizzati individualmente a generare un dispositivo “pseudo-caotico”, capace cioè di produrre, senza darlo a vedere (anzi, simulando l’opposto), estrazioni pilotate. Ognuno di essi o alcuni di essi potrebbero infatti essere utilizzati in un dispositivo capace di produrre un caos vero. Se i bussolotti fossero, ad esempio, di forma conica, tutti gli altri punti, sebbene non ottimali per la generazione del disordine, potrebbero forse essere conservati.

Sebbene la dimostrazione teorica di quanto detto, con la conseguente costruzione di un modello, si scontri con diversi problemi tra cui quello dell'”impaccamento minimo finito della sfera”, che non ha avuto a tutt’oggi ancora una soluzione matematica esatta, una verifica sperimentale può tuttavia essere fatta molto facilmente: basta segnare con colori diversi la superficie dei bussolotti sospetti e prendere nota della loro posizione iniziale, ad es. con una fotografia. Quindi effettuare il “rimescolamento” (tre giri in avanti e tre giri indietro) e verificare la loro posizione finale.
La domanda inevitabile che tutto quanto detto comporta è: da chi, come e con quali controlli vengono collocati i bussolotti prima dell’estrazione?

Si accettano osservazioni!

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