Criterio d'integrabilità di Riemann

Nel corso dei miei studi difficilmente mi sono fidato di quanto si andava affermando durante i corsi di di laurea, a volte a torto e a volte a ragione.
Quasi sempre cercavo immediatamente dei controesempi a quanto affermato, spesso con la conseguenza di distrarmi totalmente dalla lezione o dallo studio intrapreso.
Ebbene, non è stata un'eccezione il periodo in cui ho studiato l'Analisi 2 sul testo Lezioni di analisi matematica (parte seconda - ristampa del 1978. ISBN 978 8820700973), di Federico Cafiero, pubblicato da Liguori Editore (Napoli), libro vivamente consigliato a chi vuole imparare l'analisi matematica.  

Nel capitolo III viene presentata la Teoria dell'integrazione secondo Riemann. Il criterio d'integrabilità di Riemann viene presentato nel paragrafo N.4 e recita:
(4.1) Condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione numerica f definita e limitata nell'insieme limitato e misurabile S sia integrabile in S, è che per ogni coppia di numeri positivi ε e η esista una partizione Π di S, costituita da insiemi misurabili, tale che sia minore di ε la somma delle misure degli elementi di Π nei quali l'oscillazione di f è maggiore η.

Una piccola stranezza balzò immediatamente ai miei occhi, e in un primo momento sembrava un vero e proprio controesempio al teorema; poi l'allarme rientrò, ma rimasi comunque perplesso del fatto che...(non aggiungo altro per non toglierti lo sfizio di trovarla da te -:)
Sei in grado di rilevarla in meno di cinque minuti?

Con un po' di arroganza, a venti anni è molto facile esserlo, mi permisi di chiedere lumi al prof. A. Zitarosa, che mi giudicò con esito positivo all'esame di Analisi 2.
Non gli presentai la questione in termini di sfida ma gli proposi la mia osservazione e ne rimase un po' perplesso tanto da invocare strane questioni sul vuoto e sul concetto di vuoto accettati da Cafiero.

Ma fu un attimo di distrazione, qualche giorno dopo mi propose un libro da leggere Controesempi in analisi matematica di B. Gelbaum e J. Olmsted, Mursia Editore.  

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