Calcolare l'integrale della cosecante di x

Esempio. 1.- Calcolare l'integrale della cosecante di x: 

\int \frac{1}{senx}\, dx=\int cosecx\, dx

Per calcolare tale integrale utilizziamo la seguente formula di duplicazione del seno 

senx=2\, sen\frac{x}{2}\, \, cos\frac{x}{2}

Pertanto l'integrale si calcola nel seguente modo:

\int \frac{1}{senx}dx=\int \frac{1}{2sen\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}dx=\int \frac{1}{sen\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}d\left ( \frac{x}{2} \right )=ln\left | tan\frac{x}{2} \right |+c=ln\left | \frac{senx}{1+cosx} \right |+c

L'integrale dell'esempio 1 si può calcolare anche moltiplicando numeratore e denominatore per cot x + cosec x

\int cosecxdx=\int \frac{cotx\, cosecx+cosec^{2}x}{cotx+cosecx}dx=-\int \frac{-cotx\, cosecx-cosec^{2}x}{cotx+cosecx}dx...

 e poi la sostituzione t = ctg x + cosec x...

Esempio. 2.- Calcolare l'integrale della secante di x 

\int \frac{1}{cosx}dx=\int sec\, x\, dx


Per calcolare tale integrale ricordiamo l'identità

cosx=sen\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )

grazie alla quale l'integrale assegnato si può ricondurre al precedente. Si ha:

\int \frac{1}{cosx}dx=\int sec\, x\, dx=ln\left | tan\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ) \right |+c=ln\left | \frac{1+senx}{cosx} \right |+c

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