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Come Eulero scoprì la somma della serie di Mengoli

Una strana storia di matematica?
La somma:

$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}+…$ .dà infinito

mentre la somma:

$\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+…+\frac{1}{n^{2}}+…$ non dà infinito ma circa 1,64.

La dimostrazione è di Eulero nato il 1707 e fece più o meno questo ragionamento: visto che nessuno prima di me è riuscito a sapere il risultato allora devo cominciare con 1 primo numero della mia data di nascita; poi non sapeva come continuare e si fermò un attimo a pensare e mise una virgola e arrivò a 1, … continuò con il suo intuito pensando alla sua data di nascita e pensò che 7-1 =6 e allora il secondo numero doveva essere 6 e dunque aggiornò a 1,6 e continuò facendo 7+0+7=14, ma 1 già lo aveva utilizzato e lo scartò prendendo solo il 4 e dunque aggiornò il risultato a 1,64. A questo punto non sapeva proprio come continuare e dopo un mese di riflessioni pensò che se non sapeva cosa fare non restava che copiare e aggiunse un altro 4, dunque arrivò a 1,644. A quel punto si sentì sicuro del suo intuito e pubblicò il risultato. Ma Mengoli, un altro matematico, proprio lui aveva posto il problema, invidioso di Eulero, disse che era tutto un caso e sfidò Eulero a dare la 4 cifra decimale. Eulero rispose semplicemente che era un 5, con il seguente conto 1+7+0+7 =15, scarto 1 e prendo 5, però si accorse che non poteva essere così … e allora ritoccò il ragionamento e, alla cifra precedente, il 4, aggiunse 5 e disse a Mengoli: sono sicuro che è 9 la quarta cifra. E così era. Mengoli incazzato nero esclamò: “a che culo, chisto ha il … rutto” (costui è molto fortunato).

Allora Eulero si arrabbiò terribilmente lasciò sul posto Mengoli a litigare con se stesso e ad imprecare contro la sua sfortuna e andò per asparagi e a cena mangiò la frittata di asparagi, che oggi è noto fa miracoli, e durante la notte sognò il risultato perfetto

Racconto di Giulio D. Broccoli