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Disequazioni goniometriche elementari

Per imparare a risolvere le disequazioni goniometriche occorre saper risolvere le equazioni goniometriche associate e di conseguenza conviene procedere nel seguente ordine:

Disequazioni goniometriche elementari
Possono essere del tipo:

\[senx> m,\, \, \, \, \, senx<m,\, \, \]
\[cosx> m,\, \,\, \, \, \, cosx<m,\, \, \]
\[tanx> m,\, \, \, \, \, \, tanx<m,\, \,\]
\[cotx> m,\, \, \, \, \, \, cotx<m,\, \, \]

Per risolvere la disequazione \[senx> m\]
si deve prima di tutto risolvere l’equazione associata e quindi dedurre le soluzioni della disequazione, costruendo eventualmente un grafico come mostrato nei seguenti esempi. Analogamente si procede per le altre.

Esempio 1.- Risolvere in [0°, 360°] la disequazione \[senx> \frac{1}{2}\] ( Vedi il mio video su Youtube)
Le soluzioni dell’equazione\[senx=\frac{1}{2}\]
associata alla disequazione sono \[x=30^{\circ},\, \, x=150^{\circ}\].
Pertanto le soluzioni della disequazione si deducono dal seguente grafico (fig. 1) e sono gli angoli (o archi) compresi tra P e P’ (evidenziati in rosso) ovvero: \[30^{\circ}< x< 150^{\circ}\]

Se la disequazione fosse stata del tipo \[senx\geq \frac{1}{2}\] bisognava aggiungere alle soluzioni indicate anche le soluzioni dell’equazione associata \[x=30^{\circ},\, \, x=150^{\circ}\] e di conseguenza le soluzioni di quest’ultima disequazione sarebbero state \[30^{\circ}\leq x\leq 150^{\circ}\]

AVVERTENZA.- Se si voleva risolvere la disequazione dell’esempio 1 nell’insieme R dei numeri reali bisognava aggiungere la periodicità ottenendo \[x=30^{\circ}+k360^{\circ},\, \, x=150^{\circ}+k360^{\circ}\] al variare di k in Z.

Puoi consultare alcuni esercizi svolti nel mio Canale Youtube – Matematica Facile