Disequazioni goniometriche

Per imparare a risolvere le disequazioni goniometriche occorre saper risolvere le equazioni goniometriche associate e di conseguenza conviene procedere nel seguente ordine:

Disequazioni goniometriche elementari
Possono essere del tipo:

senx> m,\, \, \, \, \, senx<m,\, \,


cosx> m,\, \,\, \, \, \, cosx<m,\, \,


tanx> m,\, \, \, \, \, \, tanx<m,\, \,


cotx> m,\, \, \, \, \, \, cotx<m,\, \,

Per risolvere la disequazione

senx> m


si deve prima di tutto risolvere l'equazione associata e quindi dedurre le soluzioni della disequazione, costruendo eventualmente un grafico come mostrato nei seguenti esempi. Analogamente si procede per le altre.

Esempio 1.- Risolvere in [0°, 360°] la disequazione

senx> \frac{1}{2}


Le soluzioni dell'equazione

senx=\frac{1}{2}


associata alla disequazione sono 

x=30^{\circ},\, \, x=150^{\circ}

.
Pertanto le soluzioni della disequazione si deducono dal seguente grafico (fig. 1) e sono gli angoli (o archi) compresi tra P e P' (evidenziati in rosso) ovvero: 

30^{\circ}< x< 150^{\circ}

Se la disequazione fosse stata del tipo 

senx\geq \frac{1}{2}

bisognava aggiungere alle soluzioni indicate anche le soluzioni dell'equazione associata 

x=30^{\circ},\, \, x=150^{\circ}

e di conseguenza le soluzioni di quest'ultima disequazione sarebbero state 

30^{\circ}\leq x\leq 150^{\circ}

AVVERTENZA.- Se si voleva risolvere la disequazione dell'esempio 1 nell'insieme R dei numeri reali bisognava aggiungere la periodicità ottenendo 

x=30^{\circ}+k360^{\circ},\, \, x=150^{\circ}+k360^{\circ}

al variare di k in Z.

Disequazioni goniometriche
Oltre le disequazioni goniometriche elementari vi sono tante altre disequazioni goniometriche e per risolverle bisogna tenere in conto di quanto detto a proposito delle equazioni goniometriche associate nonché tener conto dei principi generali delle disequazioni e delle nozioni (formule) generali di goniometria.
Si può procedere come qui indicato:

Disequazioni goniometriche riconducibili ad una di secondo grado

a\cdot sen^{2}x+b\cdot senx+c>0

Esempio 2.-

Disequazioni goniometriche lineari

asenx+bcosx>c

Esempio 3.-

Disequazioni goniometriche omogenee di secondo grado

a\cdot sen^{2}x+b\cdot senxcosx+c\cdot cos^{2}x>d

Esempio 4.-

Disequazioni goniometriche omogenee di quarto grado

a\cdot sen^{4}x+b\cdot sen^{2}xcos^{2}x+c\cdot cos^{4}x>d

Esempio 5.-

Disequazioni simmetriche

a\cdot senxcosx+b\cdot (senx+cosx)+c>0

Esempio 6.-

Disequazioni goniometriche con due o più funzioni goniometriche
In questo caso è buona norma cercare di scrivere la disequazione in modo da far figurare una sola funzione goniometrica, eventualmente di un solo angolo. Ad esempio se ci fosse un sen x e un sen (2x) conviene riscrivere in modo da far figurare solo funzioni di x, poi magari ridurre ad una sola funzione goniometrica.

Esempio 7.-

Puoi consultare alcuni esercizi svolti nel mio Canale Youtube - Matematica Facile

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