Equazioni goniometriche

Per imparare a risolvere le equazioni goniometriche conviene studiarle nel seguente ordine:

Equazioni goniometriche elementari (risoluzione in [0°, 360° ] )

\begin{matrix} senx&=m \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha ,x=180^{\circ}-\alpha \\ cosx&=m \, \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha ,x=360^{\circ}-\alpha \\ tanx&=p \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha ,x=180^{\circ}+\alpha \\ cotx&=p \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha ,x=180^{\circ}+\alpha \end{matrix}

Le prime due equazioni sono possibili solo per 

-1\leq m\leq 1

mentre le ultime due sono sempre possibili

\forall p\in R

Esempio 1.- Risolvere in [0°, 360° ]  le seguenti due equazioni 

senx=\frac{\sqrt{2}}{2}, \, \, \, senx=\frac{1}{7}

La prima equazione è verificata per 

\alpha =45^{\circ}

Quindi le sue soluzioni sono: 

x=45^{\circ},\, \, \, \, \, x=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}

La seconda equazione è possibile perché 1/7 è compreso tra -1 e 1 e 

\alpha =arcsen\left ( \frac{1}{7} \right )

Quindi le sue soluzioni sono:

x =arcsen\left ( \frac{1}{7} \right ),\, \, \, \, \, \, x=180^{\circ}-arcsen\left ( \frac{1}{7} \right )

Equazioni g. elementari, risoluzione in R

\begin{matrix}
senx&=m \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha+k360° ,x=180^{\circ}-\alpha+k360° \\
cosx&=m \, \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha+k360° ,x=360^{\circ}-\alpha+k360° \\
\end{matrix}

\begin{matrix} tanx&=p \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha+k180^{\circ} \\ cotx&=p \, \, \, \, \rightarrow\, \, \, x=\alpha+k180^{\circ} \\ \end{matrix}

con k numero intero.

Esempio 2.- Risolvere in R  le seguenti due equazioni 

cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}, \, \, \, tanx=\frac{\sqrt{3}}{3}

La prima equazione è verificata per 

\alpha =45^{\circ}

Quindi le sue soluzioni sono:

x=45+k360^{\circ},\, \, x=315^{\circ}+k360^{\circ},\, \, \, k\in Z

La seconda equazione è verificata per 

\alpha =30^{\circ}

Quindi le sue soluzioni sono:

x=30+k180^{\circ},\, \, k\in Z

Equazioni goniometriche

sen\,P(x) = sen\, Q(x),\, \, \, cos\, P(x)=cos\, Q(x)

tan\,P(x) = tan\, Q(x),\, \, \, cot\, P(x)=cot\, Q(x)

Equazioni g. riconducibili ad una di secondo grado

a\cdot sen^{2}x+b\cdot senx+c=0

Equazioni g. lineari

asenx+bcosx=c

Equazioni g. omogenee di secondo grado

a\cdot sen^{2}x+b\cdot senxcosx+c\cdot cos^{2}x=d

Equazioni g. omogenee di quarto grado

a\cdot sen^{4}x+b\cdot sen^{2}xcos^{2}x+c\cdot cos^{4}x=d

Equazioni simmetriche

a\cdot senxcosx+b\cdot (senx+cosx)+c=0

Equazioni g. con due o più funzioni goniometriche
Per risolvere un'equazione di questo tipo bisogna in genere ricondurla ad un'altra con una sola funzione goniometrica o ad una dei casi precedenti grazie all'utilizzo delle formule di goniometria.

Puoi consultare alcuni esercizi svolti nel mio Canale Youtube - Matematica Facile

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