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Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

a) Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine
L’equazione:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {y}”+b{y}’+cy=0\]con b, c costanti reali, si dice equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine.

L’equazione (1) si risolve considerando e risolvendo l’equazione di secondo grado:\[2)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\lambda }^{2}+b{\lambda }+c=0\] nell’incognita , detta equazione caratteristica della (1). Indichiamo con \[\Delta =b^{2}-4c\]il suo discriminante (delta).

Allora l’integrale generale della 1) è:

\[y=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x},\, \, \, \, se\, \, \Delta >0\]

\[y=ce^{\lambda _{1}x}\left ( c_{1}+c_{2}x \right ),\, \, \, \, se\, \, \Delta =0\]

\[y=e^{\alpha x}\left ( c_{1}cos\beta +c_{2}sen\beta \right ),\, \, \, \, se\, \, \Delta <0\]

ove \[\lambda _{1},\, \lambda _{2}\] sono le soluzioni reali  dell’equazione caratteristica e \[\alpha =-\frac{b}{2},\, \, \beta =\frac{\sqrt{4c-b^{2}}}{2}\] con \[\alpha +i\beta\] soluzione complessa dell’equazione caratteristica.

Esempio 1.- Risolvere la seguene equazione \[y”-4y’+3y=0\]

L’equazione caratteristica è: \[\lambda^{2}-4\lambda +3=0\] e ammette due soluzioni reali \[\lambda=3,\, \lambda =1\]. Pertanto l’integrale generale dell’equazione data è:\[y=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{x}\]

Esempio 2.- Risolvere la seguene equazione \[y”-10y’+25y=0\]

Esempio 3.- Risolvere la seguene equazione \[y”-6y’+10y=0\]

L’equazione caratteristica è: \[\lambda ^{2}-6\lambda +10=0\] e le sue soluzioni complesse sono \[\lambda= 3\pm i\]

Essendo in questo caso \[\alpha = 3,\, \, \beta =1\]
si ha che due integrali particolari linearmente indipendenti dell’equazione data sono \[y_{1}=e^{\frac{3}{}x}cosx,\, \, \, y_{2}=e^{\frac{3}{}x}senx\] e l’integrale generale dell’equazione è \[y=c_{1}\cdot e^{3x}cosx+c_{2}\cdot e^{3x}senx\]

 

b) Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine n >2.

Esempio 1.- Risolvere la seguente equazione differerenziale del quarto ordine \[y^{(4)}-10y^{(3)}+35y^{(2)}-50y’+24y=0\]

L’equazione caratteristica associta è \[\lambda^{4}-10\lambda^{3}+35\lambda^{2}-50\lambda +24=0\] ed ammette per soluzioni x = 1, x = 2, x = 3, x = 4. Pertanto l’integrale generale dell’equazione differenziale è \[y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}+c_{3}e^{3x}+c_{4}e^{4x}\]