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Determinare il dominio di una funzione di due variabili

Determinare il dominio di una funzione di due variabili

Esempio 7.- Determinare il dominio della seguente funzione:\[f(x,y)=log_{3}\left ( e^{x}-1 \right )+\frac{xy}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{x-y}\]

Risoluzione

Bisogna richiedere che l’argomento del logaritmo sia positivo, che il radicando sia positivo e che il denominatore della terza frazione non sia nullo: \[\left\{\begin{matrix} e^{x} -1&>0 \\ 2y-1&>0 \\ x-y &\neq 0 \end{matrix}\right.\] ossia:\[\left\{\begin{matrix} e^{x} &>1 \\ y&>\frac{1}{2} \\ x &\neq y \end{matrix}\right.\] e cioè: \[\left\{\begin{matrix} x &>0 \\ y&>\frac{1}{2} \\ x &\neq y \end{matrix}\right.\] Pertanto il dominio della funzione è l’insieme D rappresentato nella figura ed evidenziato in giallo.

dominio_7_1

Notiamo che i punti delle rette x = 0, y = 1/2 e x = y non appartengono al dominio della funzione.
Ad esempio i punti A, O(0,0), R, S, H, T non appartengono al dominio della funzione mentre i punti L, B appartengono al dominio della funzione.