In questa pagina presentiamo alcuni esercizi svolti di geometria analitica dello spazio.
Esempio 1.1- Dati i vettori dello spazio \[\overrightarrow{a}\left ( -2,4,0 \right ),\, \, \overrightarrow{b}\left ( 0,-1,1 \right )\] calcolare
\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},\, \, \, \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{2}{5}\overrightarrow{b},\]
Calcolare inoltre \[\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\]
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Esempio 1.2.- Dati i vettori \[\overrightarrow{a}\left ( 2k,-1,k+1 \right ),\, \overrightarrow{b}\left ( k,1-k,2 \right )\] stabilire per quale valore di k, se esiste, sono paralleli, perpendicolari
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Esempio 2.1.- Distanza tra due punti e punto medio del segmento. Calcolare la distanza tra i punti $A\left ( -1,2,-3 \right ), B\left ( 0,-1,+8 \right )$ e le coordinate del punto medio del segmento AB.
Esempio 2.2.- Stabilire il valore di k per il quale i punti $A\left ( k,0,k \right ), B\left ( 1,-6,+2 \right )$ hanno distanza $5\sqrt{5}$
Esempio 2.3.- Verificare se il triangolo di vertici $C\left ( -1,1,2 \right ), D\left ( -1,2,3 \right ),E\left ( 0,1,3 \right )$ è equilatero.
Esempio 3.1. Rette e piani.- Risolvere i seguenti esercizi sulle rette dello spazio.
a) Determinare l’equazione parametrica e cartesiana della retta passante per il punto A( 3, 2, -5) e di vettore direttore v( -2, 1, 3 ).
b) Verificare se i punti A( 2, 3, 4 ), B( 0, 1, -2 ) e C( -3, 4, 8) appartengono alla retta di equazione parametrica \[r:\left\{\begin{matrix} x&=2-3t \\ y&=t-2 \\ z&=3+5t \end{matrix}\right.\]
c) Data la retta di equazioni parametriche \[r:\left\{\begin{matrix} x&=1+t \\ y&=3 \\ z&=1-t \end{matrix}\right.\] verificare se il punto A(1, 3, 1) appartiene alla retta r; stabilire poi se il vettore v (1,3,1) è il vettore direzionale della retta. Stabilire infine se la retta r è parallela al piano Oxz.
d) Determinare l’equazione parametrica della retta passante per i punti P(-2, 3, 5) e Q(1,0,3). Stabilire inoltre l’equazione cartesiana.
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e) Determinare se esiste il punto d’intersione tra le rette r e s di equazioni assegnate:
\[r:\frac{x-1}{2}=y=\frac{z}{3},\, \, \, s:\frac{x+3}{3}=y+1=\frac{z+3}{4}\]
f) $\displaystyle r:\left\{\begin{matrix} x &=t \\ y &=1-5t \\ z & =6+t \end{matrix}\right.$
$\displaystyle s:x+1=\frac{6-y}{6}=\frac{5-z}{5}$
g) Determinare l’intersezione del piano alfa indicato con la rerra r:
h) Dopo aver verificato ch le rette r ed s hanno un punto in comune derminare il piano passante per r ed s:
Esempio 3.1.1.- Stabilire se le seguenti rette sono parallele, perpendicolari, incidenti o sghembe.
a) \[r:\left\{\begin{matrix} x-y &=-1 \\ x+y+z &=3 \end{matrix}\right.\, \, \, s:\left\{\begin{matrix} y+z &=-1 \\ 2x+y-z &=3 \end{matrix}\right.\]
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b) \[r:\left\{\begin{matrix} x &=3t \\ y &=3-t \\ z & =t \end{matrix}\right.\, \, s:\left\{\begin{matrix} x &=-k \\ y &-2+4k \\ z &=7-k \end{matrix}\right.\]
c) \[r:\left\{\begin{matrix} x &=4-t \\ y &=2+6t \\ z & =1+t \end{matrix}\right.\, \, s:\left\{\begin{matrix} x-3y+5 &=0 \\ 2x-3y+z-3 &=0 \end{matrix}\right.\]
d) \[r:x-1=y-2=\frac{3-z}{4},\, \, s:x=y-1=\frac{2-z}{4}\]
e) Verifica che le rette sono complanari e non parallele
\[r:\left\{\begin{matrix} x-z+1 &=0 \\ y-z-1 & =0 \end{matrix}\right.\, \, s:\left\{\begin{matrix} x &=1+k \\ y &=1+3k \\ z &=4-k \end{matrix}\right.\]
Esempio 3.2.- Calcolare la distanza tra le due rette \[r)\,\left\{\begin{matrix} x &=4+t \\ y&=6+t \\ z&=-10-4t \end{matrix}\right.,\, \, \, \, s)\, \left\{\begin{matrix} x&=4+k\\ y&=3-2k \\ z&=5+2k \end{matrix}\right.\]
Esempio 3.3.- Calcolare la distanza tra le due rette \[r)\, \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1},\, \, \, \, s)\, \left ( x,y,z \right )=\left ( 28,-18,0 \right )+t\left ( -1,2,1 \right )\]
Esempio 3.3.- a) Calcolare la distanza del punto P(3,-2,-1) dalla retta \[r)\, \left\{\begin{matrix} x-2y &=5 \\ z& =3 \end{matrix}\right.\] e l’equazione della perpendicolare condotta dal punto P alla retta r.
b) Calcolare la distanza del punto P(2,-1,1) dalla retta \[r)\, \left ( x,y,z \right )=\left ( 1,-3,4 \right )+t\left ( -2,4,3 \right )\]
Esempio 3.4.- Calcolare la distanza del piano 3x-4y+12z-5=0 dal punto P (2,5,6)
Esempio 3.5.- Calcolare l’equazione del piano perpendicolare al segmento AB che passa per il punto A, sapendo che A(0,3,-2) e B(1,5,0).
Esempio 3.6.- Calcolare l’equazione del piano che contiene la retta \[r)\, \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}\] ed è perpendicolare al piano di equazione \[ \, \pi )x-y+2z-1=0\]
Esempio 3.7.- Calcoare l’equazione del piano passante per i punti A(0,2,0) e B(1,0,1) e per perpendicolare al piano di equazione x-2y-z=7
Esempio 3.8.– Calcolare l’equazione della retta che passa per il punto P(1,-1,2) e taglia perpendicolarmente la retta d’equazione \[r)\, \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1},\, \, \, \, \pi )x-y+2z-1=0\]
Esempio 3.9.- Calcoare il piano passante per il punto $\displaystyle B\left ( 1,-1,1 \right )$ e perpendicolare al vettore $\displaystyle \overrightarrow{n}\left ( 2,-1,3 \right )$
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Esempio 3.10.- Calcolare il piano passante per tre punti $\displaystyle A\left ( 1,5,1 \right ),\, \, B\left ( 0,-1,2 \right ),\, \, C\left ( 0,0,0 \right )$
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Esempio 3.10.1- Calcolare l’equazione del piano perpendicolare ai piani 4x – 2y + z = 2 e x + y +2z – 6 = 0 e passante per l’origine O degli assi.
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Esempio 3.10.1.- Calcolare il piano passante per il punto A(1, 2, 3) e parallelo al piano passsante per i punti B(2, 0, 2), C(1, 1, 2) e D(0, 4, 1)
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Esempio 3.11.- Calcolare per quale valore del paramento k i due piani sono paralleli e per quali perpendicolari
$\displaystyle \pi )-2x+(3-k)+4z-1=0,\, \, \, \, \, \pi ‘)3x+2y-6z+2=0$
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Esempio 3.12.- Trovare l’equazione del piano passante per il punto P(1,-1, 2) e parallelo al piano x – 2y + z – 3 = 0
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Esempio 3.13.- Stablire il valore dei parametri h e k per i quali i seguenti due piani sono paralleli
$\displaystyle \pi )\, \, \left ( k+2 \right )x+(h-1)+3z+4=0,\, \, \, \, \, \pi ‘)2x-6y+2z+1=0$
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Esempio 3.14.- Determinare l’equazione implicita del piano passante per il punto T(1, 2, 3) e contenente i vettori u = (1, -1, 4), e w = (1, 1, -2).
Vedi la Risoluzione
Esempio 3.15.- Determinare l’equazione del piano passante per i punti A(-3,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,2).
Si ha \[\frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1\rightarrow -2x-6y+3z=6\rightarrow 2x+6y-3z+6=0\]
Esempio 3.18- Rette e piani.- a) Calcolare la distanza tra le due rette \[r)\, \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1},\, \, \, \, s)\, \left\{\begin{matrix} 2x-3y-4z &=2 \\ x+2y-3z & =-8 \end{matrix}\right.\]
b) Calcolare la minima distanza anche tra le rette:\[r)\, \, \overrightarrow{P}=\left ( 1,2,3 \right )+t\left ( 1,-1,2 \right )\] \[s)\, \, \overrightarrow{Q}=\left ( 1,3,1 \right )+t\left ( -1,3,-2 \right )\]
Risoluzione
a) Poiché un segmento di minima lunghezza congiungente un punto P di r con un punto Q di s è perpendicolare ad entrambe le rette, cerchiamo una retta-direzione, rappresentata dal vettore non nullo (h , m, n), che sia perpendicolare alle rette r ed s. Il vettore (h , m, n) è perpendicolare alla retta r se è nullo il prodotto scalare: (h , m, n) (1, -1,2) = 0, ossia h – m +2 n = 0; mentre è perpendicolare alla retta s se è nullo il prodotto scalare (h , m, n) x (-1, 3, -2) = 0 ossia – h +3m-2n = 0. Pertanto risolvendo il sistema \[\left\{\begin{matrix} h-m+2n & =0\\ h-3m+2n & =0 \end{matrix}\right.\] si ha: (-2n,0, n) cioè (-2,0,1). Quindi la minima distanza tra le rette r e s si può calcolare scegliendo a piacere un punto P di r e un punto Q di s, calcolando la distanza P – Q e proiettandola sulla retta individuata da (1, -1, 2), cioè sulla perpendicolare comune ad r e s …
Esempio 4.1.- Superficie sferica e piani.- Data la superficie sferica d’equazione $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y+8z-8=0$ e il piano d’equazione $\displaystyle x+3y-2z+3=0$ stabilire la posizione del piano rispetto alla superficie sferica.
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Esempio 4.2.- Data la superficie sferica d’equazione $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6z+3=0$ e il piano d’equazione y = -1 stabilire il centro e il raggio della circonferenza d’intersezione tra il piano e la superficie sferica.
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