Esercizi svolti di geometria analitica nello spazio

In questa pagina presentiamo alcuni esercizi svolti di geometria analitica dello spazio.

Esempio 1.-  a) Calcolare la distanza tra le due rette  

r)\, \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1},\, \, \, \, s)\, \left\{\begin{matrix} 2x-3y-4z &=2 \\ x+2y-3z & =-8 \end{matrix}\right.

b) Calcolare la minima distanza anche tra le rette:

r)\, \, \overrightarrow{P}=\left ( 1,2,3 \right )+t\left ( 1,-1,2 \right )

 

s)\, \, \overrightarrow{Q}=\left ( 1,3,1 \right )+t\left ( -1,3,-2 \right )

Risoluzione 

a) Poiché un segmento di minima lunghezza congiungente un punto P di r con un
punto Q di s è perpendicolare ad entrambe le rette, cerchiamo una retta-direzione, rappresentata dal
vettore non nullo (h , m, n), che sia perpendicolare alle rette r ed s. Il vettore (h , m, n) è perpendicolare alla retta r se è nullo il prodotto scalare: (h , m, n) (1, -1,2) = 0, ossia h - m +2 n = 0; mentre è perpendicolare alla retta s se è nullo il prodotto scalare (h , m, n) x (-1, 3, -2) = 0 ossia - h +3m-2n = 0. Pertanto risolvendo il sistema

\left\{\begin{matrix} h-m+2n & =0\\ h-3m+2n & =0 \end{matrix}\right.

si ha: (-2n,0, n) cioè (-2,0,1). Quindi la minima distanza tra le rette r e s si può calcolare scegliendo a piacere un punto P di r e un punto Q di s, calcolando la distanza P - Q e proiettandola sulla retta individuata da (1, -1, 2), cioè sulla perpendicolare comune ad r e s ...

 

Esempio 2.- Calcolare la distanza tra le due rette 

r)\,\left\{\begin{matrix} x &=4+t \\ y&=6+t \\ z&=-10-4t \end{matrix}\right.,\, \, \, \, s)\, \left\{\begin{matrix} x&=4+k\\ y&=3-2k \\ z&=5+2k \end{matrix}\right.

Esempio 3.- Calcolare la distanza tra le due rette 

r)\, \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1},\, \, \, \, s)\, \left ( x,y,z \right )=\left ( 28,-18,0 \right )+t\left ( -1,2,1 \right )

Esempio 4.-  a) Calcolare la distanza del punto P(3,-2,-1) dalla retta 

r)\, \left\{\begin{matrix} x-2y &=5 \\ z& =3 \end{matrix}\right.

e l'equazione della perpendicolare condotta dal punto P alla retta r.

b) Calcolare la distanza del punto P(2,-1,1) dalla retta 

r)\, \left ( x,y,z \right )=\left ( 1,-3,4 \right )+t\left ( -2,4,3 \right )

Esempio 5.- Calcolare la distanza del piano  3x-4y+12z-5=0 dal punto P (2,5,6)

Esempio 6.- Calcolare l'equazione del piano perpendicolare al segmento AB che passa per il punto A, sapendo che A(0,3,-2) e B(1,5,0).

Esempio 7.- Calcolare l'equazione del piano che contiene la retta   

r)\, \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1}

ed è perpendicolare al piano di equazione 

 \, \pi )x-y+2z-1=0

Esempio 8.- Calcoare l'equazione del piano passante per i punti A(0,2,0) e B(1,0,1) e per perpendicolare al piano di equazione x-2y-z=7

Esempio 9.- Calcolare l'equazione della retta che passa per il punto P(1,-1,2) e taglia perpendicolarmente la retta d'equazione 

r)\, \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{1},\, \, \, \, \pi )x-y+2z-1=0

Esempio 10.- Determinare l'equazione implicita del piano passante per il punto T(1, 2, 3) e contenente i vettori u = (1, -1, 4), e w = (1, 1, -2).
Vedi la Risoluzione

Esempio 11.- Determinare l'equazione del piano passante per i punti A(-3,0,0), B(0,-1,0) e C(0,0,2).
Si ha 

\frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1\rightarrow -2x-6y+3z=6\rightarrow 2x+6y-3z+6=0

Esempio 12.- Determinare l'equazione della retta passante per i due punti A(−1,1,2), B(0,2,3).
Si ha:

\frac{x+1}{0+1}=\frac{y-1}{2-1}=\frac{z-2}{3-2}\rightarrow \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1}\rightarrow x+1=y-1=z-2\rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1 &=y-1 \\ x+1&=z-2 \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y+2 &=0 \\ x-z+3 & =0 \end{matrix}\right.

Esempio 13.- Determinare l'equazione della retta passante per il punto P(0, -1, 2) e perpendicolare al piano 3x+2y-z-1=0.
Tenuto conto che a = 3, b = 2, c = -1, si ha:

\frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1}\rightarrow \frac{x-0}{3}=\frac{y+1}{2}=2-z\rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{3} &=\frac{y+1}{2} \\ \frac{x}{3} & =2-z \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-3y-3 &=0 \\ x+3z-6 & =0 \end{matrix}\right.

 

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