Geometria analitica del piano esercizi svolti sulla retta

In questa pagina svolgiamo alcuni esercizi di geometria analitica, alcuni sono presenti sul mio canale Youtube Matematica Facile e si possono consultare gratuitamente.

Esempio 1.- Determinare la retta passante per il punto P (1,-2) e parallela alla retta r) y = - 2x+1.
Esercizio svolto sul mio canale Youtube
Determinare anche la retta passante per P (1,-2) e perpendicolare ad r.

Esempio 2.- Dato il triangolo rettangolo ABC, con A ( 6, 2 ), B( 3 ,-1 ), C( -2 , 4 ) , determinare un punto D in modo che ABCD sia un rettangolo.
Svolgimento sul mio canale Matematica Facile

Esempio 3.- Dato i tre punti A ( 2, 4 ), B( 6 , 2 ), C( 1 , 1 ) , determinare l'ortocentro del triangolo ABC.
Svolgimento sul mio Canale Youtube

Esempio 4.- Dato il triangolo ABC di vertice B( 6 , -1 ) determinare i vertici A e C del triangolo sapendo che la mediana CM del triangolo ha equazione y = -8x+16 e che l'altezza CD del triangolo ha equazione y = 4x+4. VEDI Qui

Esempio 5.- Trova i punti della retta 5x-3y+15=0 per i quali la distanza dall'asse x è ' 2/3 della distanza dall'asse y.

Cominciamo a rappresentare la retta 5x-3y+15=0 nel piano cartesiano. Indichiamo con P (a,b) il generico punto della retta r e si ha: 

a=\frac{3b-15}{5}

ossia il punto P ha coordinate  

P\left (\frac{3b-15}{5},b \right )

Indichiamo con PH la distanza di P dall'asse x e si ha: 

\overline{PH}=\left | b-0 \right |=\left | b \right |

Indichiamo con PK la distanza di P dall'asse y e si ha: 

\overline{PK}=\left | \frac{3b-15}{5}-0 \right |=\left | \frac{3b-15}{5} \right |

Tenuto conto che

\overline{PH}=\frac{2}{3}\cdot \overline{PK}


si ottiene l'equazione 

\left | b \right |=\frac{2}{3}\cdot\left | \frac{3b-15}{5} \right |

che risolta dà  

b=-\frac{10}{3},\, b=-\frac{10}{7}

Pertanto i punti richiesti sono due: 

P_{1}\left (-5, \frac{10}{3} \right ),\, \, P_{2}\left (-\frac{15}{7}, \frac{10}{7} \right )

Esempio 6.- Dati il punto P(-2,0) e la retta r di equazione 3x-4y+12=0 determinare l'equazione della retta passante per l'origine O del riferimento e tale che il punto P sia equidistante da questa retta e da

Disegniamo la retta r e indichiamo con PH la distanza di P da r: 

\overline{PH}=\frac{\left | 3(-2)-4(0)+12 \right |}{\sqrt{9+16}}=\frac{6}{5}


La retta passante per O(0,0) ha equazione y = mx ossia mx - y = 0.

La distanza di P(-2,0) dalla retta mx-y=0 è:

d=\frac{\left | m(-2)-1(0)+02 \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{\left | -2m \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}

Essendo d = PH si ottiene l'equazione

\frac{\left | -2m \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{6}{5}\Rightarrow 16m^{2}-9=0

da cui

m=\pm \frac{3}{4}

In definitiva le rette richieste sono: 

y=\pm \frac{3}{4}x

Altri esempi svolti di Geometria Analitica sul mio canale Youtube Matematica Facile

Precedente Limiti di funzioni irrazionali Successivo Esercizi svolti di geometria analitica nello spazio