Esempio 1.- Dato il fascio di circonferenze trovare il valore di k per il quale il fascio sia tangente ad una retta.
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Esempio 2.- Dato il fascio di circonferenze determinare quella di raggio minimo.
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Esempio 3.- Equazione del luogo dei centri di un fascio di circonferenze.
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Esempio 4.- Nel fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione y = x +3 nel punto di ascissa x = 0, trova la circonferenza passante per l’origine; determina poi la circonferenza con centro d’ascissa 4; la circonferenza con centro d’ordinata 1/6. Infine, determina la circonferenza del fascio che stacca sull’asse y una corda di lunghezza 6.
Esempio 5.- Nel fascio di circonferenze passanti per i punti S(-2, -2) e T (2, 2) determina la circonferenza che passa per il punto P(1, 2); determina poi quella del fascio che ha raggio radical(10).
Esempio 6.- Dati i punti A(0,3) e B(6,1) determinare l’equazione della circonferenza avente il centro di ascissa x = 2 sull’asse del segmento AB. Successivamente scrivere l’equazione del fascio di circonferenze generato dalla circonferenza calcolata al punto precedente e dalla retta AB, asse radicale o circonferenza degenere. Quindi calcolare la circonferenza del fascio suddetto che intercetta sull’asse x una corda di lunghezza 3.
Risoluzione (vedi foto)
Il fascio di circonferenze richiesto ha equazione \[x^{2}+y^{2}-4x+2y-5+k(x+3y-9)=0 \] e intersecando con l’asse x:
\[ \left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-4x+2y-5+k(x+3y-9)&=0 \\y=0& \\\end{matrix}\right.\]
si ha l’equazione
\[ x^{2}-4x-5+k(x-9)=0\rightarrow x^{2}-x(4-k)-9k-5=0\]
e
\[ x_{1,2}=\frac{4-k\pm \sqrt{\left ( 4-k \right )^{2}+4\left ( 5+9k \right )}}{2}\]
e calcolando la distanza tra i punti A e B: \[ \overline{AB}=\left|x_{2}-x_{1} \right|=\sqrt{\left ( 4-k \right )^{2}+4(5+9k)}\]
ed essendo AB = 3 si ha l’equazione irrazionale in k:
\[ 3=\sqrt{\left ( 4-k \right )^{2}+4(5+9k)}\]
da cui k = -1, k = -27. Per k = -1 si ha circonferenza richiesta.
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Fasci di parabole
Esempio 1.- Esercizio sui fasci di parabole.
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Esempio 5.- Dato il fascio di parabole $y=-x^{2}+2(k-1)x-k$, con k parametro reale, stabilisci per quale valore di k ha asse di simmetria x = 8 e per quale valore di k ha il vertice di ordinata 10. Inoltre, per quale valore di k i punti base hanno distanza 3.
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