Frazione generatrice di un numero periodico

Determiniamo la frazione generatrice di un numero periodico semplice. Ad esempio consideriamo il numero $3,\overline{2}$ e calcoliamo la sua frazione generatrice. Il numero $3,\overline{2}$  lo possiamo scrivere nel seguente modo \[3,\overline{2}=3+0,\overline{2}=3+\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+…+\frac{2}{10^{n}}+…\]

e raccogliendo a fattor comune 2/10 si ha:

\[3+\frac{2}{10}\left (1+ \frac{1}{10}+…+\frac{1}{10^{n-1}}+… \right )\] ossia

\[3+\frac{2}{10}\left ( \sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{10^{n-1}} \right )=3+\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=3+\frac{2}{10}\cdot \frac{10}{9}=3+\frac{2}{9}=\frac{29}{9}\]

Ricordiamo che \[\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{10^{n-1}}=\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{10^{n}}=\sum_{n=0}^{+\infty }\left ( \frac{1}{10} \right )^{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=…\]

e che per la serie geometrica di ragione q vale che \[\sum _{n=0}^{+\infty }q^{n}=1+q+q^{2}+q^{3}…+q^{n}+…=\left\{\begin{matrix} divergente,\, \, con\, \, somma\, \, +\infty & se\, \, q\geq 1\\ convergente, con \, \, somma\, \, s=\frac{1}{1-q} &se\, -1<q<1\\ indeterminata,\, non\, esiste \, la \, \, somma & se\, \, q\leq -1 \end{matrix}\right.\]

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