Lunghezza di una curva

Sia C una curva piana semplice e regolare di equazioni parametriche regolari \[\left\{\begin{matrix} x&=x(t)) \\ y&=y(t) \end{matrix}\right.\]

con t parametro reale tale che $\displaystyle a\leq t\leq b$

La lunghezza L della curva, ossia dell’arco di curva tra a e b, è data da

\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}dt\]

Analogamente, se C è una curva dello spazio, semplice e regolare, di equazioni parametriche regolari  \[\left\{\begin{matrix} x &=x(t) \\ y &=y(t) \\ z &=z(t) \end{matrix}\right.\] con t parametro reale tale che $\displaystyle a\leq t\leq b$ la lunghezza L della curva, ossia dell’arco di curva tra a e b, è data da \[L=\int_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt\]

Esempio 1.- Calcolare la lunghezza della curva $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x(t) &=t-1 \\ y(t) &=1-t^{2} \\ z(t) &=2+\frac{2}{3} t^{3} \end{matrix}\right.$ con $\displaystyle t\in \left [ 0,1 \right ]$ dopo aver verificato che è regolare.

Quesito assegnato alla Fcoltà di Architettura (2019)

Risultato: 5/3. Non riesci a trovare il risultato? Allora vedi il mio video

Esempio 2.- Calcolare la lunghezza della curva \[\left\{\begin{matrix} x(t) &=e^{t} \\ y(t) &=t\sqrt{2} \\ z(t) &=e^{-t} \end{matrix}\right.\] con $\displaystyle t\in \left [ -1,1 \right ]$

Quesito assegnato alla Facoltà di Architettura (2019)

Risultato: L = 2e – 2/e. Non riesci a trovare il risultato? Allora vedi il video nel mio canale Youtube

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