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I quesiti della maturità scientifica

In questa pagina riportiamo alcuni quesiti assegnati alla Maturità Scientifica a partire dal 2001, prima erano dieci di cui lo studente doveva svolgerne cinque, poi, dal 2019, otto di cui quattro da svolgere.
Lo svolgimento di alcuni quesiti si può consultare nel mio canale Youtube

Quesito 1.- Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata, con superficie totale di area S, determinare quello per cui la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

Terzo quesito 2019

Risoluzione. Indichiamo con L lo spigolo di base e con h l’altezza del parallepipedo e si ha che la somma richiesta (da minimizzare) vale s = 4L + 8h e la superficie totale vale $\displaystyle S=2L^{2}+4Lh$. Ricavando da quest’ultima formula l’altezza h si ha \[h=\frac{S-2L^{2}}{4L}\] e sostituendo nella formula della somma degli spigoli si ha: \[s(L)=8L+\frac{S-2L^{2}}{L}=\frac{S+6L^{2}}{L}\].
Di conseguenza la derivata prima è

$\displaystyle s'(L)=\frac{12L\left ( L \right )-\left ( S+6L^{2} \right )}{L^{2}}=\frac{6L^{2}-S}{L^{2}}$

\[s'(L)\geq 0\Rightarrow 6L^{2}-S\geqslant 0\Rightarrow L\leq -\sqrt{\frac{S}{6}}\cup L\geq \sqrt{\frac{S}{6}}\]
Pertanto la somma degli spigoli è minima per \[L=\sqrt{\frac{S}{6}}\]

Quesito 2.- Data una parabola d’equazioine \[y=1-ax^{2}\] con a > 0 si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.

Secondo quesito 2016

Suggerimento: Conviene disegnare la parabola in un piano Oxy, avente vertice (0,1), ed evidenziare il generico rettangolo inscritto nel segmento parabolico, il rettangolo avrà due vertici sull’asse x e due vertici sulla parabola, uno nel primo quadrante e uno nel secondo quadrante. Indichiamo con (h, k) le coordinate del vertice del rettangolo situato sulla parabola e nel primo quadrante, si ha:

\[k=1-ah^{2}\]

da cui si evince che l’area e il perimetro del rettangolo sono funzioni di h. Determinate tali funzioni, A(h) e P(h), si determinano i valori per i quali sono massime e quindi, per determinare il valore di a richiesto dal testo, si richiede che il valore massimo avvenga per un loro valore comune…

Quesito 3.- Sia f la funzione così definita nell’intervallo \[]1,+\infty )\]

\[f(x)=\int_{e}^{x^{2}}\frac{t}{ln\, t}dt\]

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa \[\sqrt{e}\]
Decimo quesito 2016

Quesito 4.- Sapendo che \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{ax+2b}-6}{x}=1\] determinare a e b.

Secondo quesito 2017

Quesito 5.- Data la funzione \[f(x)=\left | 4-x^{2} \right |\] verificare che essa non soddisfa a tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [-3, 3] e che comunque  esiste almeno un punto dell’intervallo [-3, 3] in cui si annulla la derivata prima di f(x). Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in modo esauriente.

Decimo quesito 2017

Quesito 6.- Determinare i valori di k in modo che la retta di equazione y = – 4x + k sia tangente alla curva di equazione y = x^3 – 4x^2 + 5.

Terzo quesito 2018

Risoluzione

Indichiamo con x = h il punto generico di tangenza tra la retta e la curva data. Per la condizione di tangenza, y'(x) = m, si avrà y'(h) = -4 e cioè l’equazione:

3h^2 – 8h + 4 = 0

da cui h = 2, h = 2/3.
Pertanto vi sono due punti di tangenza tra la curva e la retta, il primo di ascissa x = 3 e il secondo di ascissa x = 2/3, le cui ordinate sono rispettivamente:

y(2) = 8 – 16 + 5 = -3  da cui A(2, -3)

y(2/3) = … da cui B(2/3, …)

Di conseguenza imponendo la condizione di appartenenza del punto A(2, -3) alla retta y = -4x+k si ottiene :

3 = – 4(2) + k    ossia    k = 5

…analogamente si procede per il punto B

Quesito 7.- Determinare a in modo che  \[\int_{a}^{a+1}\left ( 3x^{2}+3 \right )dx\] sia uguale a 10

Settimo quesito 2018

Quesito 8.- Determinare per quale valore di k reale la funzione \[y(x)=2e^{kx+2}\] è soluzione dell’equazione differenziale \[y”-2y’-3y=0\]

Decimo quesito 2018

Quesito 9.- Dimostrare che il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore della metà del volume del cono.

Primo quesito 2018

Quesito 10.- Data la funzione \[f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{3} & se\, \, 0\leq x\leq 1\\ x^{2}-kx+k &\, se\, \, 1< x \leq 2 \end{matrix}\right.\]

determinare k in modo che nell’intervallo [0,2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza.

Nono quesito 2015

Quesito 11.- Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula:\[V=\frac{1}{3}\pi h\left ( R^{2}+r^{2}+rR \right )\]

Secondo quesito 2015

Suggerimento: Si può prima provare a dimostrare che il volume del cono è …

Quesito 12.- Si determini il dominio della funzione\[f(x)=\sqrt{3-log_{2}\left ( x+5 \right )}\]

Nono quesito 2014

Quesito 13.- Il valore medio della funzione\[f(x)=x^{3}\] sull’intervallo [0, k] è 9. Si determini k.

Settimo quesito 2014

Quesito 14.- Si condiserino nel piano cartesiano i punti A (2, -1) e B(-6,-8). Si determini l’equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A.

Terzo quesito 2013

Quesito 15.- Si calcoli \[\lim_{x\rightarrow 0}4\frac{senxcosx-senx}{x^{2}}\]

Nono quesito 2013

Quesito 16.- La posizione di un particella è data da \[s(t)=20\left ( 2e^{-\frac{t}{2}} +t-2\right )\] determinare l’accelerazione al tempo t = 4.

Terzo quesito 2012

Quesito 17.- Qual è il valore medio della funzione \[f(x)=\frac{1}{x}\] da x = 1 a x = e?

Ottavo quesito 2012

Quesito 18.- Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema 1 metro?

Quarto quesito 2012

Quesito 19.- Si trovi il punto della curva \[y=\sqrt{x}\]
più vicino al punto (4, 0)

Secondo quesito 2011

Quesito 20.- Si calcoli\[\lim_{x\rightarrow\alpha }\frac{tanx-tan\alpha }{x-\alpha }\]

Sesto quesito 2011

Quesito 21.- Si determini il dominio della funzione \[f(x)=\sqrt{cosx}\]

Sesto quesito 2010

Quesito 22.- Si calcoli \[\lim_{x\rightarrow \infty }4xsen\frac{1}{x}\]

Quarto quesito 2010

Quesito 23- Per quale valore di k la funzione \[h(x)=\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-11x-4 & x\leq 4\\ kx^{2}-2x-1&x>4 \end{matrix}\right.\] è continua in x = 4?

Settimo quesito 2010

Quesito 24.- Se n > 3 e \[\binom{n}{n-1},\, \, \binom{n}{n-2},\, \, \binom{n}{n-3}\] sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

Ottavo quesito 2010

Quesito 25.- Si consideri la regione delimitata da , dall’asse x e dalla retta x = 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y.

Decimo quesito 2010

Quesito 26.- Si calcoli \[\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\]

Sesto quesito 2009

Quesito 27- Per quale o quali valori di k la curva d’equazione \[y=x^{3}+kx^{2}+3x-4\] ha una sola tangente orizzontale?

Terzo quesito 2009

Quesito 28.- Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:\[x^{3}-3x^{2}+k=0\]

Settimo quesito 2008

Quesito 29.- Si mostri che la funzione y = x^3 + 8 soddisfa le condizioni del teorema del valor medio (o teorema di Lagrange) sull’intervallo [-2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato geometrico.

Quinto quesito 2007

Quesito 30.- Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

Sesto quesito 2007

Quesito 31.- Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

Primo quesito 2006

Quesito 32.- La funzione f (x) = a sen x + b cos x ha un estremo relativo per \[x=\frac{4\pi }{3}\] ed è\[f\left ( \frac{2\pi }{3} \right )=1\] Si calcoli a e b e si dica qual è il periodo di f(x).

Decimo quesito 2006

Quesito 33.- Si dimostri che la curva y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è
tangente alla retta y = −x quando sen x = −1

Terzo quesito 2005

Quesito 34.- Se \[f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+3\] per quanti numeri reali k è f(k) = 2 ? Si illustri il ragionamento seguito.

Settimo quesito 2005

Quesito 35.- Dimostrare che l’equazione \[e^{x}+3x=0\] ammette una ed una sola soluzione reale.

Quarto quesito 2004

Quesito 36.- Calcolare l’integrale \[\int_{0}^{1}arcsenx\, dx\]

Nono quesito 2004

Quesito 37- La derivata della funzione \[f(x)=\int_{0}^{x^{2}}e^{-t^{2}}\, dt\] è la funzione \[f'(x)=2xe^{-x^{4}}\] Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l’affermazione.

Sesto quesito 2003

Quesito 38.- Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri da 1 e 90.

Nono quesito 2003

Quesito 39.- Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione: \[\frac{1}{x^{2}-2x-3}=\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x+1}\] sia un’identità.

Secondo quesito 2002

Quesito 40.- Si consideri la funzione:\[f(x)=\left ( 2x-1 \right )^{7}\left ( 4-2x \right )^{5}\] Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo \[\frac{1}{2}\leq x\leq 2\]

Terzo quesito 2002

Quesito 41.- Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che:\[f(x)=\int_{x}^{x+1}lnt\: dt,\, \, \, \, \, \, \, x>0\]

Quarto quesito 2002

Quesito 42- Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f(0)=2.
Calcolare: \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\int_{0}^{x}f(t)dt}{2xe^{x}}\]dove e è la base dei logaritmi naturali.

Secondo quesito 2001

Quesito 43.- Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula:\[V=\frac{1}{3}h\left ( B+b+\sqrt{Bb} \right )\]
In ogni cao esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.

Quarto quesito 2001

Quesito 44.- Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a,b] e tale che, per ogni x di tale intervallo, risulti f ’(x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in quell’intervallo.

Quinto quesito 2001

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