La definizione di limite giocando a bocce.

Immagina, Ilaria, d’avere due oggetti A e B (ad esempio due bocce) posti ad una distanza, non nulla, tra loro che però non conosci.
Ebbene, immagina di voler stabilire quanto vicino stanno i due oggetti e di non avere a disposizione un metro.
Allora come puoi fare?
Puoi fare così: prendi un rametto da una pianta, lo pulisci, e lo interponi tra le due bocce, proprio come fanno i nostri nonni quando si dilettano a giocare a bocce nei giardini pubblici o nelle strade di campagna.
A questo punto, se il rametto è più lungo della distanza tra le due bocce allora vuol dire che devi accorciare un po’ il rametto.
Lo accorci, ad occhio, e riprovi; se il rametto è ancora più lungo, vuol dire che le bocce stanno ancora più vicino di quanto pensavi.
Allora, vuol dire che devi accorciare ancora il rametto; lo fai e provi a misurare … e scopri che ancora una volta le bocce stanno più vicine.

Insomma, così continuando, continui ad accorciare il rametto e continui a vedere che le due bocce stanno più vicine di quanto ti indica il rametto.
Che cosa puoi concludere?
Penso che sia ovvio affermare che le due bocce stanno tanto vicine quasi da sovrapporsi l’una sull’altra; però, la distanza tra le bocce A e B non è zero (lo abbiamo detto all’inizio), e quindi possono stare vicinissime, ma mai l’una sull’altra.
In sostanza, sappiamo che A e B stanno a distanza non nulla, cioè non stanno l’una sull’altra, però sperimentiamo ( con il rametto ) che questa distanza è sempre più piccola di qualsiasi rametto.
Quando siamo di fronte ad un fenomeno di questo tipo diciamo che A e B tendono a stare l’uno sull’altro o che la loro distanza tende a zero.
Prendiamo ora la definizione di limite di una successione in forma matematica e cerchiamo di interpretarla in base all’esempio fatto al fine di far comprendere il significato dei simboli e dei concetti che intervengono in tale definizione. Essendo, l’esempio delle bocce, relativo al mondo reale ed essendo una definizione matematica un concetto astratto si richiederà un po’ di “fantasia”.

DEFINIZIONE .- Si dice che la successione $\displaystyle \left \{ a_{n} \right \}_{n\in N}$ tende ad a se per ogni $\displaystyle \epsilon >0$  esiste un indice n (naturale) tale che per ogni k > n si abbia

\[\left | a_{n}-n \right |<\epsilon\]

Ebbene, $\displaystyle \epsilon$ è il nostro rametto di prova e dire “per ogni $\displaystyle \epsilon$ > 0” equivale a dire che possiamo accorciare (e quindi scegliere) la lunghezza del rametto a nostro piacere senza mai eliminarlo del tutto; $\displaystyle a_{n}$ è l’oggetto idealizzato con A ed a l’oggetto B, il pedice n di $\displaystyle a_{n}$ sta ad indicare le infinite variazioni di posizione di A;

\[\left | a_{n}-n \right |<\epsilon\] indica il fatto che la distanza tra le due bocce è sempre più piccola della lunghezza del rametto che scelgo di volta in volta (dopo averlo accorciato nella speranza di trovare un rametto più piccolo della distanza tra A e B)
L’indice n e la scritta “ogni k > n” sta ad indicare che per vedere se i due oggetti A e B sono l’uno sull’altro posso iniziare a farlo da un certo punto in poi.

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