\[Mx^{2}+Ny^{2}+Ax+By+C=0\]
Ricordiamo che una tale equazione rappresenta un’ellisse traslata nel caso $\displaystyle M>0,N>0,M\neq N$ , mentre rappresenta un’iperbole traslata se M ed N sono discordi. Se invece M ed N sono uguali rappresenta una circonferenza (reale o immaginaria), e se N = 0 e $\displaystyle B\neq 0$ una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y; infine se M = 0 e $\displaystyle A\neq 0$ una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x.
Esempio 1.- Data l’equazione \[4x^{2}+y^{2}-8x+6y+9=0\] determinare l’equazione dell’ellisse traslata e disegnarne il grafico.
Risoluzione
Cominciamo a scrivere l’equazione nel seguente modo \[\left ( 4x^{2}-8x \right )+\left ( y^{2}+6y \right )+9=0\]…
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Esempio 2.- Data l’equazione \[x^{2}+5y^{2}-6x+10y+4=0\] determinare l’equazione dell’ellisse traslata e disegnarne il grafico.
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Esempio 2.1.- Data l’equazione \[9x^{2}+4y^{2}-18x+24y+9=0\] determinare l’equazione dell’ellisse traslata e disegnarne il grafico.
Una procedura analoga si può impiegare nel caso dell’iperbole traslata.
Esempio 3.- Data l’iperbole d’equazione $\displaystyle 9x^{2}-4y^{2}-32y-100=0$ disegnarla nel piano cartesiano e determinare la lunghezza della corda intercettata sulla retta $\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}$
Suggerimento e risultati.- Prima bisogna scrivere l’iperbole nella forma di una iperbole traslata, quindi determinando i vertici si può disegnare. I vertici sono $\displaystyle A\left ( 2,-4 \right ),A’\left ( -2,-4 \right ),B\left ( 0,-1 \right ),B’\left ( 0,-7 \right )$. I punti d’intersezione con la retta sono $\displaystyle T\left ( \frac{10}{3},0 \right ), P\left ( -2,-4 \right )$ ; la corda TS è lunga $\displaystyle \frac{20}{3}$