Riporto questo articolo del Rettore Guido Trombetti per aggiungere alcune spiegazioni intorno agli scacchi. Le spiegazioni sono riportate nelle note.
“Non mancano certo le leggende sull’origine del gioco degli scacchi. La più famosa (la riprende anche Dante in una terzina) narra di un mercante-inventore*. Costui si presentò a un annoiato faraone (secondo alcuni, a un altrettanto annoiato principe indiano secondo altri). E tirò fuori una tavoletta quadrata divisa in 64 quadratini alternativamente bianchi e neri, 32 pezzi bianchi e 32 neri.** Per distrarlo gli insegnò un nuovo gioco, da lui inventato. Appunto il gioco degli scacchi. Il faraone ne fu entusiasta e per ricompensarlo gli chiese di esprimere un qualunque desiderio.
Il mercante non ci pensò su due volte: «Vorrei tanti chicchi di grano quanti se ne ottengono mettendone 1 sul primo quadratino della tavoletta, 2 sul secondo, 4 sul terzo, 8 sul quarto e così via raddoppiando il numero ad ogni casella». Il faraone era un po’ ciuccio in matematica e, «nulla interposita mora», accettò. Salvo a trasalire quando gli comunicarono che per onorare l’incauto impegno occorrevano ben 264-1 e cioè 18.446.744.073.709.551.615*** di chicchi di grano (circa diciotto miliardi di miliardi). Pari alla produzione di grano di tutto il mondo per due o tre migliaia di anni. Il numero scritto si ricava effettuando la somma 1+2+22+23+… +263 che è uguale proprio a 264-1 .
È difficile da ottenere? No.
Basta ricordare i terribili prodotti notevoli con cui l’occhialuta insegnante delle scuole medie ci costringeva a riempire i quaderni a quadretti. La letteratura sul rapporto tra la matematica e gli scacchi è molto ampia. Un articolo molto bello, intitolato «Scacco alla regina (delle scienze)» è dovuto a Piergiorgio Odifreddi. Lo consiglio per il giusto equilibrio tra rigore e divulgazione. Come funziona la matematica?
Si parte da un gruppo di affermazioni, dette assiomi, che sono le regole del gioco. Attraverso ragionamenti (regole logiche) si arriva ad altre affermazioni dette teoremi. In fondo per un gioco vale lo stesso meccanismo. Le regole degli scacchi sono come gli assiomi, le mosse i ragionamenti, la configurazione finale dei pezzi sulla scacchiera il teorema. E adesso passiamo a… dare i numeri.
Cominciamo con una semplice domanda. Qual è il numero massimo di mosse possibili? Parlando di numero massimo, dobbiamo pensare a una situazione (soltanto ideale) in cui ogni pezzo è libero di muoversi senza ostacoli sulla scacchiera. Tale numero è 121. Con un po’ di pazienza lo si calcola facilmente. Una torre, per esempio, si può muovere lungo una colonna verticale o una linea orizzontale. Quindi può produrre 14 mosse, 7 sulla linea orizzontale e 7 su quella verticale. Poiché le torri sono due, si ottengono 28 mosse. Altre 16 provengono dagli 8 pedoni. Pezzo dopo pezzo… si arriva a 121****.
È evidente che il numero medio di mosse possibili è in realtà più basso. La folla sulla scacchiera, infatti, può rendere impossibili alcuni movimenti. Un altro quesito. In quanti modi si possono piazzare sulla scacchiera i 32 pezzi? Se avessimo solo due pezzi da disporre ragioneremmo così: piazzato il primo in una casella, l’altro può andare in 63 caselle. Poiché il primo lo possiamo sistemare in 64 modi diversi, avremmo in tutto 64 x 63 scelte. Se i pezzi fossero 3 ne avremmo 64 x 63 x 62. Poiché i pezzi sono 32 abbiamo 64 x 63 x 62 x … x 33 possibilità.
Senza andare troppo per il sottile, questo numero è più o meno uguale a 6432, che è circa uguale a 1057.
Un numero enorme ma, non dimentichiamolo mai, comunque finito. Se le configurazioni sono 1057 e le possibili mosse sono 121, il numero delle partite possibili non va oltre (12110)57, circa uguale a (1010)58
Sia chiaro, questo è soltanto un numero estremo. Indica solo un limite teorico oltre il quale non si può andare. Ma dà comunque l’idea di quanto sia grande il numero delle possibili partite.
Il primo a fare un conto realistico delle possibili partite (a esempio considerando il valor medio di possibili mosse) è stato Claude Shannon, padre della teoria dell’informazione. Valutò una cifra pari a 10120 (numero di Shannon). Numero comunque mostruoso.
Pensate che se fossimo in grado di scrivere ogni possibile partita di scacchi su un atomo diverso non basterebbero gli atomi di tutto l’universo. Pare, infatti che non siano più di 1080 per certi aspetti il gioco degli scacchi richiama anche la geometria non euclidea. Ad esempio, se calcolo la lunghezza non con i centimetri ma con il numero di mosse, la distanza minima tra due caselle può essere ottenuta attraverso più di un percorso. Dipende se uso la torre, il cavallo o l’alfiere… Mentre nella geometria euclidea ***** la distanza minima tra due punti si ottiene solo con un segmento. È naturale chiedersi: ma in una partita perfetta cosa accade?
Vince il bianco, il nero o è patta? Il grande matematico tedesco Zermelo, dando in un certo senso inizio alla teoria dei giochi, nel 1912, trovò il seguente risultato: o esiste una strategia per cui il bianco vince sempre, o esiste una strategia per cui il nero vince sempre, o si patta sempre. Sia chiaro, questo risultato è estremamente profondo, e non ha nulla a che fare con la banale osservazione che in ogni partita c’è uno che vince e uno che perde, o si pareggia******. Forse ho semplificato troppo.
Ma avverto come un macigno una citazione di Goethe letta nell’articolo di Odifreddi: «I matematici sono come i francesi: se si dice loro qualcosa la traducono nel proprio linguaggio, ed essa appare subito diversa». E magari più complicata.”
Tratta da Il Mattino del 28/07/2005
Note di Gbd
*Il mercante ( a me risulta un saggio) pare si chiamasse Sissa o Sessa. Non mi risulta che si trattasse di un faraone. Le più antiche fonti riguardanti l’invenzione del gioco degli scacchi risalgono al 570 d. C., riportate dall’Orientalista inglese H. Murray, dal tedesco Tassillo von Heyderbrand e da Lasa (1818-1899).
Secondo la leggenda, riportata da fonti arabe, un principe indiano incaricò il saggio Sissa di inventare un gioco che rappresentasse il principe con il suo popolo.
Nel XVII secolo il gioco viene riportato per la prima volta dal poeta indiano Bana e legato al nome de Principe Sriharscha di Kanjakubdscha. Il gioco inizialmente era giocato in 4 ( si giocava a coppia) e tra i pezzi vi erano anche elefanti e navi. I colori in gioco erano 4: rossi e gialli contro bianche e neri. Il pezzo da muovere veniva deciso con un particolare dado. La vittoria consisteva nel prendere tutti i pezzi dell’avversario.
Questo antico gioco, precursore del gioco attuale, si chiamava Tschaturanga – in sancrito: Tschatur = quattro, anga = una parte – e successivamente si trasformò nel nome persiano Tschatrang, e infine nell’arabo Schatrandsch. Il nome Scacco deriva dal persiano Schah = re.
** Una banale svista, matematica. I pezzi sono 32 in tutto, 16 per il bianco e 16 per il nero.
*** Il numero si può leggere: 18 trilioni, 446 biliardo, 774 bilione, 073 miliardi,, 709 milioni, 551 mila, 615.
Osserviamo che alcuni vocabolari (Devoto Oli, Dizionario della lingua italiana, Le Monnier, 1976, considera bilione sinonimo di miliardo), ma nella realtà 1 bilione è uguale a 1000 miliardi.
**** 8 mosse per il re, 27 per la regina, 14 per torre, 13 per alfiere, 8 per cavallo, e 2 per pedone:
8 + 27 + (14 ×2) + (13 ×2) + (8 ×2) + (2 × 8) = 121.
Considerando che le possibili aperture sono 20, e che 20 sono le possibili risposte, si ottengono almeno 400 = 20 x 20 configurazioni (partite distinte) iniziali. Alla seconda mossa del bianco le configurazioni possibili diventano 5362, e alla seconda mossa del nero 72084; alla terza mossa del bianco sono tra 809000 e 811000, mentre alla terza mossa del nero superano i 9 milioni; dopo 10 mosse le configurazioni possibili sono circa 40010.
Considerando poi una partita media di 100 mosse, con 40 mosse possibili, si arriva al numero di 10040 = 1080
***** Però, nella geometria della scacchiera, vale la proprietà triangolare per le mosse del Re, ossia il percorso lungo la diagonale di un ideale triangolo è sempre il minimo ( in termini di numero di mosse) per raggiungere la casa di arrivo da quella di partenza.
******Vedi l’articolo di Odifreddi “Scacco alla regina (delle scienze)”