Serie di potenze

Si dice serie di potenze di punto iniziale zero la seguente:\[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{n}x^{n}+…\] con  \[a_{i}\in R\, \, \, \forall \, i\]
Mentre si dice serie di potenze di punto iniziale \[x_{0}\] la seguente \[2)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+…+a_{n}(x-x_{0})^{n}+…\]

Teorema.-
Se una serie di potenze converge per x = c allora converge per ogni x tale che\[\left | x \right |<r\, \, \, con\, \, \, \, \, r=\left | x-c \right |\] e non converge per \[\left | x \right |>r\].

Il numero r si dice raggio di convergenza della serie e si possono avere tre casi:

  • r = 0 allora la serie converge solo nel punto x = 0;
  • r è un numero finito e allora la serie converge nel dominio – r < x < r;
  • r è infinito e allora la serie converge su tutto l’asse reale.

Nota
Se \[a_{i}\neq 0\, \, \, \forall i\, \, \, \, \, e\, \, \, \lim_{n}\left | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right |=\lambda \Rightarrow r=\lambda\, \, \, \, \, raggio\, \, di\, \, convergenza\].

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