Sviluppo in serie di Taylor e formula di Taylor
Sia y = f(x) una funzione definita nell’intervallo I e derivabile n – 1 volte almeno in I e n volte almeno in \[c\in I\] Allora la funzione f(x) si può scrivere nel seguente modo: \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, f(x)=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f^{\left ( i \right )}(c)}{i!}\left ( x-c \right )^{i}+R_{n}(x)\]
La (1) si dice formula di Taylor di punto iniziale c e d’ordine n della funzione f(x); \[R_{n}(x)\]si dice termine complementare d’ordine n della formula di Taylor della funzione di f(x).
Se c = 0 la (1) prende la forma: \[1)\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, f(x)=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{f^{\left ( i \right )}(0)}{i!}\left ( x \right )^{i}+R_{n}(x)\]e si dice formula di Mac Laurin d’ordine n della funzione f(x).
Esempio 1.- Sviluppare la funzione esponenziale $\displaystyle y=e^{x}$ di base e (numero di Nepero). Vedi qui
Nota. Il termine complementare può assumere varie forme in relazione alle ipotesi fatte sulla funzione f(x). In particolare se f(x) è derivabile n + 1 volte in I si ha \[R_{n}(x)=\frac{f^{\left ( n+1 \right )}(p)}{(n+1)!}\left ( x-c \right )^{n+1}\] ove \[p\in I\] e la (1) con questo resto si dice formula di Taylor con il resto di Lagrange