Sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale

Esercizio
a)
Determinare il polinomio di Taylor di punto iniziale zero d’ordine 3 delle funzioni esponenziali: \[y=e^{x},\, y=e^{3x},\, y=e^{-x^{2}}\].

b) Determinare lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale zero  con il termine complementare di Peano.

Svolgimento
a) Ricordiamo che il polinomio del terzo ordine in zero c= 0 è dato da \[P_{3}(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{f^{k}(c)}{k!}x^{k}=f(0)+f’\left ( 0 \right )\frac{1}{1!}x+f”\left ( 0 \right )\frac{1}{2!}x^{2}+f”’\left ( 0 \right )\frac{1}{3!}x^{3}=f(0)+f’\left ( 0 \right )x+f”\left ( 0 \right )\frac{1}{2}x^{2}+f”’\left ( 0 \right )\frac{1}{6}x^{3}=\]

ove bisogna calcolare i coefficienti \[f(0),\, \, f’\left ( 0 \right ),\, \, \, f”\left ( 0 \right ),\, \, \, f”’\left ( 0 \right )\] essendo f la funzione esponenziale \[f(x)=e^{x}\]
Si ha:  \[f(0)=e^{0}=1,f'(0)=e^{0}=1, f”(0)=e^{0}=1, f”'(0)=e^{0}=1\] e di conseguenza il polinomio di Taylor d’ordine 3 è il seguente \[P_{3}(x)=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}\]

Per calcolare il polinomio di Taylor d’ordine 3 della funzione \[y=e^{3x}\] possiamo procedere ripetendo la procedura precedente, ovvero calcolando le derivate in zero fino all’ordine 3 e poi sviluppando il tutto, oppure sostituendo nel polinomio prima calcolato x con 3x. Si ha:\[P_{3}(x)=1+(3x)+\frac{1}{2}(3x)^{2}+\frac{1}{6}(3x)^{3}=1+3x+\frac{9}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x^{3}\]

Per calcolare il polinomio di Taylor d’ordine 3 in zero della funzione \[y=e^{-x^{2}}\] possiamo procedere ripetendo la procedura precedente, ovvero calcolando le derivate in zero fino all’ordine 3 e poi sviluppando il tutto, oppure sostituendo nel polinomio prima calcolato x con -x^2. Si ha:\[P_{3}(x)=1+(-x^{2})+\frac{1}{2}(-x^{2})^{2}+\frac{1}{6}(-x^{2})^{3}=1-x^{2}+\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{6}x^{6}\]

E’ chiaro che tra la funzione \[f(x)=e^{x}\] e il suo polinomio di Taylor del terzo ordine in zero ( o di qualsiasi altro ordine) vi è una differenza espressa appunto dal termine complementare.
Ad esempio per x = 1 la funzione \[f(x)=e^{x}\] vale \[f(1)=e^{1}=e=2,71…\] mentre il polinomio \[P_{3}(1)=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\approx 2,6\]
In generale ricordiamo dunque che risulta \[f(x)=P_{n}(x)+R_{n}(x)\] o anche \[R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)\] e il termine complementare rappresenta proprio l’errore che si commette se si approssima f(x) con P_{n}(x)

b) Lo sviluppo in serie di Taylor d’ordine n in zero della funzione esponenziale con il termine complementare di Peano è
\[f(x)=e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+…+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n})\]

ove \[o(x^{n})\] è il termine complementare di Peano, cioè il termine complementare \[R_{n}(x)=o(x^{n})\] è un infinitesimo in zero d’ordine superiore rispetto a x^n.
Sostituendo x con 3x si ottiene lo sviluppo in serie di Taylor d’ordine n in zero della funzione  \[y=e^{3x}\] e sostituendo x con -x^2 quello della funzione \[y=e^{-x^{2}}\]

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