Verifica di un limite

Uno degli esercizi spesso assegnato sui limiti è la verifica di un limite.
Ad esempio, si voglia verificare il seguente limite

1)\, \, \, \, \, \, \lim_{x\rightarrow 2}(2x+5)=9


Cosa bisogna fare per vedere se il limite dato è vero? Bisogna applicare la definizione di limite, e visto che la x tende ad un valore finito (x tende a 2) e il limite è finito (L = 2), bisogna verificare che

\forall \, \varepsilon> 0\, \, \, \exists\, \, I_{2 }\, \, :\, \, \forall\, x\, \in (I_{2 }-\left \{ 2 \right \})\cap D_{f}\, \, \, \left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon


In pratica bisogna risolvere la disequazione

\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon

 e verificare se le sue soluzioni sono un intorno di 2 per ogni 

\varepsilon >0

In caso affermativo il limite (1) è vero, altrimenti falso. Dunque risolviamo la disequazione 

\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon

Si ha:

\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon \, \, \, \Rightarrow\, \, \, \left | 2x-4 \right |<\varepsilon\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, -\varepsilon +4<2x<\varepsilon +4

ossia: 

2-\frac{\varepsilon }{2}<x<2+\frac{\varepsilon }{2}

Pertanto osservato che al variare di

\varepsilon >0

l'insieme soluzione della disequazione

2-\frac{\varepsilon }{2}<x<2+\frac{\varepsilon }{2}

 è un intorno di 2

\forall \varepsilon >0

si deduce che il limite (1) è verificato o vero.
Per capire meglio vediamo perché il seguente limite non è verificato:

\lim_{x\rightarrow 2}\left ( 2x+5 \right )=21


Applicando ancora una volta la definizione di limite bisogna risolvere la disequazione

\left | 2x+5-21 \right |<\varepsilon

 e verificare che il suo insieme soluzione è un intorno di 2 per 

\forall \varepsilon >0


Si ha: 

\left | 2x-16 \right |<\varepsilon \Rightarrow\, \, \, \, -\varepsilon +16<2x<\varepsilon +16

ossia 

8-\frac{\varepsilon }{2}<x<8+\frac{\varepsilon }{2}


Ora bisogna verificare se l'insieme soluzione ottenuto 

8-\frac{\varepsilon }{2}<x<8+\frac{\varepsilon }{2}

è un intorno di 2 

\forall \varepsilon >0


Si vede ad esempio per 

\varepsilon =20

si ottiene l'insieme soluzione 

-2<x<18

che è un intorno di 2, ma ciò non è vero 

\forall \varepsilon >0

Infatti per 

\varepsilon =6

si ottiene l'insieme soluzione 

5<x<11

che non è un intorno di 2, visto che 2 non appartiene a tale intervallo.


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