Verifica di un limite

Uno degli esercizi spesso assegnato sui limiti è la verifica di un limite.
Ad esempio, si voglia verificare il seguente limite \[1)\, \, \, \, \, \, \lim_{x\rightarrow 2}(2x+5)=9\]
Cosa bisogna fare per vedere se il limite dato è vero? Bisogna applicare la definizione di limite, e visto che la x tende ad un valore finito (x tende a 2) e il limite è finito (L = 2), bisogna verificare che \[\forall \, \varepsilon> 0\, \, \, \exists\, \, I_{2 }\, \, :\, \, \forall\, x\, \in (I_{2 }-\left \{ 2 \right \})\cap D_{f}\, \, \, \left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\]
In pratica bisogna risolvere la disequazione \[\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\] e verificare se le sue soluzioni sono un intorno di 2 per ogni \[\varepsilon >0\] In caso affermativo il limite (1) è vero, altrimenti falso. Dunque risolviamo la disequazione \[\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon\] Si ha:\[\left | 2x+5-9 \right |<\varepsilon \, \, \, \Rightarrow\, \, \, \left | 2x-4 \right |<\varepsilon\, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, -\varepsilon +4<2x<\varepsilon +4\] ossia: \[2-\frac{\varepsilon }{2}<x<2+\frac{\varepsilon }{2}\] Pertanto osservato che al variare di \[\varepsilon >0\] l’insieme soluzione della disequazione \[2-\frac{\varepsilon }{2}<x<2+\frac{\varepsilon }{2}\]  è un intorno di 2 \[\forall \varepsilon >0\] si deduce che il limite (1) è verificato o vero.
Per capire meglio vediamo perché il seguente limite non è verificato:\[\lim_{x\rightarrow 2}\left ( 2x+5 \right )=21\]
Applicando ancora una volta la definizione di limite bisogna risolvere la disequazione \[\left | 2x+5-21 \right |<\varepsilon\] e verificare che il suo insieme soluzione è un intorno di 2 per \[\forall \varepsilon >0\]
Si ha: \[\left | 2x-16 \right |<\varepsilon \Rightarrow\, \, \, \, -\varepsilon +16<2x<\varepsilon +16\] ossia \[8-\frac{\varepsilon }{2}<x<8+\frac{\varepsilon }{2}\]
Ora bisogna verificare se l’insieme soluzione ottenuto \[8-\frac{\varepsilon }{2}<x<8+\frac{\varepsilon }{2}\] è un intorno di 2 \[\forall \varepsilon >0\]
Si vede ad esempio per \[\varepsilon =20\] si ottiene l’insieme soluzione \[-2<x<18\] che è un intorno di 2, ma ciò non è vero \[\forall \varepsilon >0\] Infatti per \[\varepsilon =6\] si ottiene l’insieme soluzione \[5<x<11\] che non è un intorno di 2, visto che 2 non appartiene a tale intervallo.


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