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Sistemi di misura degli angoli e degli archi.

Sistema sessagesimale.
In questo sistema l’unità di misura è la novantesima parte dell’angolo retto,
e prende il nome di angolo grado.
I sottomultipli dell’angolo grado sono:

  • l’angolo minuto primo: che è uguale a 1/60  dell’angolo giro;
  • l’angolo minuto secondo: che è uguale a 1/60  dell’angolo minuto.

Formule dirette:

1° = 60′, ossia 1 grado è uguale a 60 minuti
1′ = 60”, ossia 1 minuto è uguale a 60 secondi
1° = 3600”, ossia 1 grado è uguale a 3600 secondi

Formule inverse;

1′ = 1/60°,
1” = 1/60′,
1” = 1/3600°

Ricordiamo, altresì, che per indicare l’angolo di 45 gradi, 17 primi e 35 secondi si scrive:

45° + 17 ’+ 35’’ = 45° 17 ’ 35’’

1.1 Forma ridotta dell’espressione della misura di un angolo

Esempio 1. .- Consideriamo l’angolo di 47° 75′ 12” scritto in forma non normale perché i primi sono espressi da un numero superiore a 59. La misura dell’angolo si può scrivere in forma ridotta nel seguente

modo 48°15’12”, ossia vale l’uguaglianza:

47° 75′ 12” = 48° 15′ 12”

L’espressione 48° 15′ 12” si ottiene osservando che 75′ = 60′ +15′ = 1° +15′ (o eseguendo la divisione 75 : 60 che dà 1 con il resto di 15).

Pertanto si aumenta di 1° il valore che esprime i gradi (47° diventa 48°) e si scrive 15′ al posto di 75′.
L’espressione 47° 75′ 12” si dice complessa, mentre l’espressione 48° 15′ 12” si dice normale o ridotta.

Usa un convertitore…certo non fa i passaggi ma ti permette di capire se hai fatto bene…!

Esempio 2. Forma ridotta dell’espressione della misura di un angolo.- Consideriamo l’angolo di 157° 65′ 82” scritto in forma non normale perché i primi e i secondi sono espressi da numeri superiori a 59.
La misura dell’angolo si può scrivere in forma ridotta nel seguente modo 158° 6′ 22”, ossia vale l’uguaglianza:
157° 65′ 82” = 158° 6′ 22” L’espressione 158° 6′ 22” si ottiene osservando che
82” = 60” +22” = 1′ +22” (o eseguendo la divisione 82 :
60 che dà 1 con il resto di 22). Pertanto si aumenta di 1′
il valore che esprime i primi (65° diventa 66°) e si scrive 22”
al posto di 82”. Poi si procede a trasformare i primi come nell’esempio 1.

1.1.1 Espressione decimale
La misura di un angolo nel sistema sessagesimale si può scrivere anche in forma decimale procedendo come nei seguenti esempi.

a) 45° 20′ = 45° + 20 (1/60)° + = 45° + 1/3° = (45 + 1/3 )° = (136/3)° = 45.3°

b) 30° 20′ 12” = 30° + 20 (1/60)° + 12(1/3600)° = 30° + 1/3° + 1/300° = (30 + 1/3 + 1/300)° = (9101/300)° = = 30.34°
approssimando alla seconda cifra decimale.
c) 10° 30′ 12,56” = 10° + 30 (1/60)° + 12,56(1/3600)° = 10 + 1/2 + 12,56/300 = 10° + 1/2° + 1256/30000° =
= (10 + 1/2 + 1256/30000)° = ( 316256 / 30000 )° = 10,542°

approssimando alla terza cifra decimale.

Naturalmente si può fare il viceversa.

d) 12,25° = 12° + 0,25° = 12° + 0,25(60′) = 12° + 15′ = 12° 15′

e) 145,185° = 145° + 0,185° = 145° + 0,185(60′) = 145° + 11,1′ = 145° + 11′ + 0, 1′ = 145° + 11′ + 0, 1(60”) = = 145° + 11′ + 6” = 145° 11′ 6”

Sistema centesimale.
In questo sistema l’unità di misura è la centesima parte dell’angolo retto, e prende il nome di grado centesimale.
I sottomultipli del grado centesimale sono:

  • l’angolo minuto primo: che è uguale a  1/100  dell’angolo centesimale;
  • l’angolo minuto secondo: che è uguale a  1/100  dell’angolo minuto primo.

Ricordiamo che per denotare l’angolo di 37 gradi centesimali, 24 primi e 16 secondi si scrive: \[37^{\circ}{24}'{16}”\]

Sistema radiale.
In questo sistema l’unità di misura è l’angolo radiante definito come l’angolo al centro di una circonferenza il cui arco corrispondente è di lunghezza uguale al raggio ( fig. 1).
I sottomultipli dell’angolo radiante sono: il decimo, il centesimo, il millesimo,……di radiante.
Per denotare l’angolo di 7 gradi radianti, 5 decimi e 3 centesimi si scrive: \[37^{r},53\].
Si dice misura in radianti di un angolo ( che indichiamo con ) il rapporto (fig. 1) seguente:\[\alpha =\frac{L}{R}\]ove L è la lunghezza del corrispondente arco rettificato ed R il raggio della circonferenza.